概周期函数

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数学中,概周期函数(或殆周期函数)是一类有近似于周期性质函数,是连续週期函數的推廣。不同的周期函数由于周期不尽相同,其乘积不一定再是周期函数。概周期函数尽管未必有严格的周期性,但可拥有一些比周期函数更好的性质。这一概念首先于1925年被丹麦数学家哈那德·玻尔引進,后来赫曼·外尔贝西科维奇等人也有研究和推广[1]贝西科维奇因概周期函数方面的贡献获得了1931年剑桥大学亚当斯奖[2]

定义[编辑]

概週期函數有若干個等價定義。根据哈那德·玻尔引进的分析學上的定义,一个定义域在实数域上的连续函数f 如果满足:对任意正实数\epsilon,都存在实数l(\epsilon) > 0,使得任意长度为l(\epsilon) 的区间里至少存在一个数t,使得对于任意的x \in \mathbb{R},都有:

\left| f(x+t) - f(x)\right|< \epsilon [3]

在高维欧几里得空间\mathbb{R}^n中,也可以定义类似的概周期向量函数。

按照定义,所有周期函数都是概周期函数。

值域在復平面上的概周期函数与三角多项式函数有密切关系。哈那德·玻尔首先注意到這類型的函數是在研究有限項狄利克雷級數的時候。當把黎曼ζ函数:ζ(s) 截出有限項后,得到的是一些形如

e^{(\sigma+\rm{i}t)\log n}\,

的項。其中的\sigma+\rm{i} t = s。如果只考慮復平面上的一條豎直的直線(也就是說固定s 的實數部份\sigma,而實數t 在正負無窮大之間變動),那麼實際上每一項變成:

t \mapsto n^\sigma e^{(\log n)it}\,

如果只觀察有限個這樣的函數的和(以避免\sigma < 1 時的解析开拓的問題),那麼由於對不同的ne^{(\log n)it}是線性獨立的,這個和不再是一個週期函數。

在相關研究中,哈那德·玻尔開始注意形如:

t \mapsto \sum_{k = 1}^m e^{i \lambda_k t}\,

三角多项式函數。它是若干個週期互不相同的週期函數e^{i \lambda_k t}\, 的和。於是概週期函數的另一個定義出現了:如果对每个\epsilon > 0,都存在三角多项式函数:T_{\epsilon} (x),使得对于任意的x \in \mathbb{R},都有:

\left| f(x) - T_{\epsilon} (x) \right|< \epsilon

可以證明,這個定義與第一個定義是等價的[1]

例子[编辑]

考虑若干三角多项式函数:

f_n : \, x \longmapsto \sum_{k=1}^n \exp(i\lambda_k x)

其中\lambda_k复数。每一个f_n 都是周期函数,因此有限个f_n 的和仍然是概周期函数。然而,对于某些和函数,比如说:

f : \, x \longmapsto \exp(ix) + \exp(i \pi x)

f不是周期函数,但仍然是概周期函数。

性质[编辑]

  • 如同周期函数一样,任何概周期函数都是有界的, 且一致连续。
  • 如果f 是概周期函数,那么对于任意实数af(x+a)f(ax)af(x)|f(x)| 也是概周期函数。
  • 如果fg 都是概周期函数,那么f + gf - gf \cdot g 都是概周期函数。
  • 如果f(x) 是概周期函数,Hf 的值域到\mathbb{R}上的一致连续函数, 则H(f(x))也是概周期函数。
  • 如果概周期函数的序列(f_n)_{n \in \mathbb{N}}在实轴上一致收敛于函数f(x) ,则f(x) 也是概周期函数。
  • 如果f(x) 是概周期函数, 则f'(x) 为概周期函数的充分必要条件是f(x) 的导函数f'(x) 一致连续。
  • 如果f(x) 是概周期函数,F(x) = \int_a^x f(t)dt,则F(x) 为概周期函数的充要条件为F(x) 有界[3][1]

参看[编辑]

参考书籍[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 C. Corduneanu. Almost periodic functions. American Mathematical Society. 1989. ISBN 978-0-828-40331-3. 
  2. ^ A.S. Besicovitch (1932), Almost periodic functions , Cambridge Univ. Press
  3. ^ 3.0 3.1 汪宏喜. 概周期函数及其主要性质. 《工科数学》. 1997,. 第13卷第2期.