概形論術語

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這是概形論術語。欲知代數幾何中概形的簡介,請見條目仿射概形射影空間概形。本條目旨在列出概形論中的基本技術定義與性質。

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一個概形 S 是一個局部賦環空間,故也是拓撲空間,但「S 的點」具有三重涵義:

  • 拓撲空間意義下的點。
  • T-值點:對任一概形 T,一個 T-值點是指一個態射 T \to S
  • 幾何點:當 S 定義在一個 K 上時(換言之 S\mathrm{Spec}(K)-概形),一個幾何點乃是一個 \mathrm{Spec}(\overline{K})-值點,其中 \overline{K}K代數閉包

幾何點是古典問題的主角,例如對複代數簇而言,通常說「點」即指幾何點。拓撲空間的點包括一般點的類比(相對於扎里斯基而非韋伊的理論)。藉由米田引理,考慮所有的概形 T 與所有 T-值點,可以將概形 S 理解為相應的可表函子 h_S,此觀念是代數幾何發展史上的一大步。

纖維[编辑]

格羅滕迪克的相對幾何框架下,一態射的纖維有三重涵義:

  • 一個點(拓撲意義下)的逆像。
  • 兩個態射的纖維積:對於仿射概形,纖維積對應到環的張量積
  • 幾何纖維:設 S, S'\mathrm{Spec}(K)-概形(K 為域),f: S \to S' 為一 \mathrm{Spec}(K)-態射,P: \mathrm{Spec}(\overline{K}) \to S' 為一幾何點,則 P 點的幾何纖維定義為相應的纖維積 S \times_S \mathrm{Spec}(\overline{K})

概形之性質[编辑]

概形的大部分性質都是「局部的」,換言之:X 具有性質甲,若且唯若對其任一開覆蓋 X = \bigcup_i X_i,每個 X_i 皆具性質甲;而通常只要對一組開覆蓋驗證即可。這類性質有時也被稱為「扎里斯基局部」的,藉以區別對於其他格羅滕迪克拓撲的情形(如平展拓撲)。

考慮一概形 X 及一組仿射開子概形 \mathrm{Spec} A_i 組成的開覆蓋。藉此可將概形的局部性質翻譯為交換環的性質。一個性質甲在上述意義下是局部的,若且唯若相應的環性質在局部化之下不變。

舉例明之,局部諾特概形是能由諾特環交換環譜覆蓋的概形。由於諾特環的局部化仍為諾特環,局部諾特性確實是上述意義下的局部性質。另一個例子是既約概形,這也是局部性質,因為若一個交換環無冪零元,則其局部化亦然。

分離概形並非局部性質:任何仿射概形都是分離概形,因此任何概形都是「局部分離」的,然而存在非分離的概形。

以下是環的局部性質列表(不全),由此可定義概形的相應性質。以下令 X := \bigcup_i \mathrm{Spec} A_i 為一概形之開覆蓋。

概念 定義 例子 反例
與概形結構相關者
不可約 若一連通概形 X (作為拓撲空間)不能表為兩個閉子集的聯集,除非其中一者為 X,則稱之為不可約概形。利用素理想與仿射概形的點的對應,可知連通概形 X 不可約若且唯若每個 A_i 恰有一個極小素理想。凡諾特概形皆可唯一表示為有限個極大不可約閉子集的聯集,這些閉子集稱為其不可約成份 仿射空間射影空間 Spec k[x,y]/(xy) = Reducible scheme.png
既約 A_i 皆為既約環(即:無冪零元素),等價的說法是結構層 \mathcal{O}_X 沒有冪零的局部截面。代數幾何的一大進步是將代數簇推廣為概形,而概形可能是非既約的。 代數簇 (根據定義) k[x]/(x2)
不可約的既約概形稱作整概形。等價的說法是:該概形可由整環的譜覆蓋。嚴格地說,這只在連通概形上才是局部性質。 Spec k[t]/f, f 為不可約多項式 Spec AB. (A, B ≠ 0)
正規 若每個 A_i 都是整閉的,則稱 X 為正規概形。 正則概形、帶有理奇點的曲面 帶奇點的曲線
與正則性相關者
正則 若每個 A_i 都是正則局部環,則稱 X正則概形 域上的平滑代數簇 Spec k[x,y]/(x2+x3-y3)=Non regular scheme thumb.png
Cohen-Macaulay X 的局部環皆是Cohen-Macaulay環,則稱 XCohen-Macaulay 概形 正則概形、 Spec k[x,y]/(xy) Non cohen macaulay scheme thumb.png
與「大小」相關者
局部諾特 每個 A_i 皆為諾特環。如果此外更要求該覆蓋為有限覆蓋,則該概形稱為諾特概形 古典代數幾何的大部分對象 GL_\infty = \cup GL_n
X 的任兩個不可約閉子概形 Y \subset Z 之間的極大鏈都有相同長度,則稱 X鏈概形,這在局部上對應於鏈環。整鏈概形的維度是局部性質。 代數幾何的大部分對象 見條目鏈環中的反例

態射之性質[编辑]

格羅滕迪克的基本理念之一是強調「相對」性,亦即置重點於態射的性質。概形範疇有一終對象 \mathrm{Spec} \Z,所以任何概形可以唯一地理解為 \mathrm{Spec} \Z-概形,藉此可以從態射性質定義概形本身的性質。

以下令

 f: Y \to X

為概形間的態射。一如既往,以下的性質也是局部的,即:若存在開覆蓋 X = \bigcup U_i 使得 ff^{-1}(U_i) 上的限制帶有該性質,則 f 本身也帶該性質。

與拓撲結構相關的概念[编辑]

若一個態射在拓撲空間上是開映射,則稱此態射為開態射;閉態射的定義類似。平坦態射皆為開態射。

f(Y)X 中稠密,則稱此態射為優勢態射(英文:dominant morphism,法文:morphisme dominant)。對於仿射概形,優勢態射對應到環的單射同態。

開浸入與閉浸入[编辑]

  • 開浸入:若 f 同構於一個開子概形的包含映射,則稱之為開浸入。
  • 閉浸入:若 f 同構於一個閉子概形的包含映射,則稱之為閉浸入。閉浸入在局部上對應到環的商同態。閉浸入可以如下刻劃:f: Y \to X 是閉浸入,若且唯若 f 在拓撲空間的意義下是個閉浸入(f: Y \to f(Y)同胚,且 f(Y)X 中的閉集),而且 f^{\#}: \mathcal{O}_X \to f_* \mathcal{O}_Y 是滿射。
  • 浸入:閉浸入與開浸入的合成。

開浸入僅關乎拓撲,而閉浸入則與結構層有關。概形的閉子集可以帶有多種閉子概形結構,其中存在一個始對象,使得其結構層不含冪零元,稱為該閉子集對應的既約子概形。

仿射態射與射影態射[编辑]

X 的仿射開子概形對 f 的逆像仍為仿射概形,則稱 f仿射態射。用較炫的說法:仿射態射係來自 \mathcal{O}_X-代數的整體 \mathbf{Spec} 構造,這是整體版本的交換環譜。例子包括向量叢

射影態射的定義類似,此時對應到分次 \mathcal{O}_X-代數的整體 \mathbf{Proj} 構造,另一種等價的刻劃是: f 是射影態射,若且唯若它可分解為閉浸入 Y \to \mathbb{P}^n_X := \mathbb{P}^n \times X 及自然投影 \mathbb{P}^n_X \to X

分離態射與真態射[编辑]

  • 分離態射:使得對角態射 \Delta_{Y/X}: Y \to Y \times_X Y 為閉浸入的態射,此概念對應到拓撲學中的豪斯多夫空間
  • 真態射:即滿足下列性質的態射
    • 分離態射
    • 泛閉(即:任一閉浸入 s: Z \to X 在對 f 取纖維積後仍為閉浸入)
    • 有限型

有限型、擬有限與有限態射[编辑]

X 有一組仿射開覆蓋 \mathrm{Spec}\, A_i,使得態射 f^{-1}(\mathrm{Spec}\,  A_i) \to \mathrm{Spec}\, A_i 對應到 \mathrm{Spec}\, B_i \to \mathrm{Spec}\, A_i,使得 B_i 是有限 A_i-模,則稱此態射為有限態射

若將上述條件改為:f^{-1}(\mathrm{Spec}\, A_i) 有一組仿射開覆蓋 \mathrm{Spec}\, B_{ij} ,使得 \mathrm{Spec}\, B_{ij} 是有限生成的 \mathrm{Spec}\, A_i-代數,則稱此態射為局部有限型態射;若上述開覆蓋 f^{-1}(\mathrm{Spec}\, A_i) = \bigcup_j \mathrm{Spec}\, B_{ij} 可取為有限的,則稱之有限型態射。代數幾何中探討的多數態射都是有限型態射。

f 的纖維都是有限的,且是有限型態射,則稱之為擬有限態射。有限態射皆為擬有限態射。

平坦態射[编辑]

f 在結構層的莖上給出平坦同態,則稱之為平坦態射。視此態射為一族以 X 的點為參數的概形,則平坦性可詮釋為纖維在變形下的某些良好性質,例如希爾伯特多項式的不變性。

非分歧態射與平展態射[编辑]

對一點 y \in Y,考慮相應的環同態:

f^\# \colon \mathcal{O}_{X, f(y)} \to \mathcal{O}_{Y, y}.

\mathfrak{m}\mathcal{O}_{X,f(y)} 的極大理想,並設

\mathfrak{n} := f^\#(\mathfrak{m}) \mathcal{O}_{Y,y}

若對所有 y \in Y\mathfrak{n} \mathcal{O}_{Y,y} 的極大理想,且導出的映射 \mathcal{O}_{X,f(y)}/\mathfrak{m} \to \mathcal{O}_{Y,y}/\mathfrak{n} 是有限、可分的代數擴張,則稱此態射為非分歧態射

平坦的非分歧態射稱為平展態射,此外尚有多種等價定義。在代數簇的情形,平展態射恰好是在切空間上導出同構的態射,這正好是微分幾何中平展態射的定義。

平滑態射[编辑]

平滑態射對應到拓撲學中的塞爾纖維化映射,在代數幾何中有多種定義:

  • f: Y \to X 是有限型平坦態射,且 \Omega^1_{Y/X} 是局部自由 \mathcal{O}_Y-模,其秩為 \dim Y - \dim X
  • f: Y \to X 可分解為某個平展態射 g: Y \to \mathbb{A}^n_X 及自然投影 p: \mathbb{A}^n_X \to X 之合成。
  • 形式判準:對任何交換環 A 及其理想 I,並滿足 I^2 = (0),則 \mathrm{Hom}_X (\mathrm{Spec}(A), Y) \to \mathrm{Hom}_X (\mathrm{Spec}(A/I), Y) 是滿射。

外部連結[编辑]

文獻[编辑]