概念文字

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最初1879年版的标题页。

概念文字》是1879年出版的戈特洛布·弗雷格写的一本关于逻辑学的书。书名《Begriffsschrift》通常翻译成《Concept Writing》或《Concept Notation》;书的完整标题把它标识为《模仿算术的纯思维形式语言》。这本小书无可争议是亚里士多德之后在逻辑学领域最重要的出版物。弗雷格开发他的形式逻辑系统的动机是类似于莱布尼兹对“演算推论器”的渴望。

弗雷格定义了逻辑演算来支持他在数学基础上的研究。“概念文字”是书和其中定义的演算二者的名字。

记号和系统[编辑]

演算介入了量词,因而本质上是经典的谓词逻辑,尽管使用了一种特异的二维记号(notation):连结词和量词使用连接公式的线条来书写,而不是今天使用的符号(symbol)¬、∧、∀。例如,在判断B和A之间的蕴涵,也就是 B \rightarrow A Kondicionaliskis wb.png来指定。

在他的著作的第一章中,弗雷格确定了基本概念和标号(sign),象命题("断定/判断"),和全称量词("普遍性"),蘊涵("条件性"),否定和等号 \equiv ;在第二章中他声明了九个形式化的命题作为公理(它们是在语义上证明了的形式化陈述)。

基本概念 Frege記號 現代記號
斷定 \vdash A,\Vdash A \, p(A)=1 \,

p(A)=i \,

否定 Begriffsschrift connective1.svg \neg A, \sim A \,
條件(蘊涵) Begriffsschrift connective2.svg B\Rightarrow A

B\subset A \,

全称量化 Begriffsschrift Quantifier1.png \forall x\colon\Phi(x)
存在量化 Begriffsschrift Quantifier3.png \exists x\colon\Phi(x)
內容同一(等號) A\equiv B \, A=B \,

他给出了条件的定义(第1章。§5.):

"设A和B指称可断定的内容,则有四种潜在的可能性:
(1) A被肯定了(assert), B被肯定了;
(2) A被肯定了,B被否定了;
(3) A被否定了,B被肯定了;
(4) A被否定了,B被否定了。

Kondicionaliskis wb.png标示(sign)第三种可能性是不能得到的,而只能是其他三种中的一个。所以如果我们否定Kondicionaliskis wb.png就意味着第三种可能性是有效的,就是说我们否定了A并肯定了B。"

弗雷格著作中的演算[编辑]

弗雷格声明了九个重言式断定作为公理。他以语义方式证明了它们,并以语法上的演绎证明了其他重言式断定。

  1.  \vdash \ \ A \rightarrow \left( B \rightarrow A \right)
  2.  \vdash \ \ \left[ \ A \rightarrow \left( B \rightarrow C \right) \ \right] \ \rightarrow \ \left[ \ \left( A \rightarrow B \right) \rightarrow \left( A \rightarrow C \right) \ \right]
  3.  \vdash \ \ \left[ \ D \rightarrow \left( B \rightarrow A \right) \ \right] \ \rightarrow \ \left[ \ B \rightarrow \left( D \rightarrow A \right) \ \right]
  4.  \vdash \ \ \left( B \rightarrow A \right) \ \rightarrow \ \left( \lnot A \rightarrow \lnot B \right)
  5.  \vdash \ \ \lnot \lnot A \rightarrow A
  6.  \vdash \ \ A \rightarrow \lnot \lnot A
  7.  \vdash \ \ \left( c=d \right) \rightarrow \left( f(c) = f(d) \right)
  8.  \vdash \ \ c = c
  9.  \vdash \ \ \left( \ \forall a : f(a) \ \right) \ \rightarrow \ f(c)

弗雷格在第二章中历数了被形式化的命题;成为了他的公理的是第1st, 2nd, 8th, 28th, 31st, 41st, 52nd, 54th, 58th个命题。

他在这章中还声明了两个推理规则:它们是肯定前件;和代换律。在第一章中他宣布了一个约定,即“普遍化律”。这意味着如果“自由变量”能在一个断定中找到,则把它当作全称量化的,依据弗雷格的定律,在\vdash标号(“断定符号”)之后的,被固定的(fixed)变量是断定,而不是“开放”的公式,也就是谓词。

弗雷格在第二和第三章中在语法上证明了一百多个形式陈述。第三章("Parts from a general series theory")是对他在建造算术上做的工作的介绍。

对其他著作的影响[编辑]

它的记号的某些痕跡幸存了:被逻辑学家非正式的叫做“十字转门”(turnstile)的符号\vdash演化自弗雷格的“Inhaltsstrich”─和“Urteilsstrich”│。弗雷格在《Begriffsschrift》中以合一的形式├─使用这些符号来声明一个命题是(重言式)真的,而不是简单的宣布它。他使用“Definitionsdoppelstrich”│├─作为表示一个命题是一个定义的符号。

逻辑哲学论中,维特根斯坦通过使用术语“Begriffsschrift”作为逻辑形式主义的同义词来表达对弗雷格的敬意。

在弗雷格后来的著作《意义和引用》中,它放弃了在本书中关于同一性达成的某些结论(用数学上的 = 号来标记)。

一段引文[编辑]

"如果哲学的任务是打破言辞在表达人类思想上的统治[...],那么我的概念记号,就是为这个目的而开发的,它能够成为哲学家的有用的工具[...]我认为,只是通过发明这些概念记号,逻辑的本质(matter)就已经被促进了(forward)。"

Begriffsschrift [前言]

引用[编辑]

  • Gottlob FregeBegriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle, 1879.
  • Risto Vilkko, 1998. 'The reception of Frege's Begriffsschrift'. Historia Mathematica 25(4):412-422.

参见[编辑]

外部链接[编辑]