榭赫倫實驗

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榭赫倫山的偏遠位置與對稱山形實驗很有幫助。

榭赫倫實驗英语Schiehallion Experiement)是十八世紀中,一次測量地球平均密度實驗。这次實驗的資金由皇家學會提供,而主實驗是在1774年夏季,於蘇格蘭珀斯郡(今珀斯-金羅斯)的榭赫倫山附近進行。這項實驗的主要用具是,藉由附近的山會對擺產生重力吸引的現象,於是當擺運動時,靠近山的一邊會有微小的偏角,也正為實驗所求。實驗中擺角偏移的大小,取決於地球與山的相對密度體積;因此,若可以確定榭赫倫山的密度,那麼,其結果便能確定地球的密度。由於當時已經確定太陽系中各天體(行星、它們的衛星太陽)的密度相對比值,所以只要知道地球的密度,科學家們就能估計出太陽系內各天體的密度近似值。於是,這項實驗產生了第一組天體密度數值。

雖然艾薩克·牛頓在以前曾考慮過同樣的實驗,以展示他的萬有引力定律,但最終由於測量困難的原因而決定放棄。然而,以當時的皇家天文學家內維爾·馬斯基林為首的一隊科學家,卻認為這樣的效應是可以測量的,並計劃進行這一個實驗。而促成這次實驗的一個原因是,在勘測梅森-狄克森線(Mason-Dixon Line,美國賓夕法尼亞州馬利蘭州特拉華州西維吉尼亞州間的一段邊界)時所注意到的單向偏倚。經過對候選山頭的初步調查,調查顯示榭赫倫山是進行實驗的理想地點,因為它擁有偏遠的位置與近乎對稱的山形。此外這個實驗還有另一項貢獻,就是實驗者首度使用了等高線來簡化勘測山的過程,即使現在製作地圖還是會用到這種表示方式。

背景[编辑]

在對稱的引力場中,擺在靜止時會垂直向下。然而,如果附近有其他大質量的物體(例如一座山),那麼它的吸引力就會把擺的鉛錘,向它那邊拉過去,這樣擺就會稍微偏離垂直。而由某已知物體(例如恆星)所造成的鉛垂線角度偏移,則可以通過在山兩邊的各組對點上,對擺進行仔細的測量得出。通過判定山的體積,及估算山石的平均密度,這樣就能夠獨立地得出山的質量,再加上在那座山多處的偏角測量值,就能通過外推得出地球的平均密度,然後再使用平均密度來算出地球的質量。

艾薩克·牛頓在《自然哲學的數學原理》一書中,曾考慮過這個效應[1],但卻悲觀地認為,地球上任何山所造成的偏角都太小,而難以測量[2]。他寫道,引力效應只能在行星的大小尺度下才看得到[2]。然而牛頓的悲觀是沒有根據的:雖然他的計算指出,偏角會小於2角分(對象是一座三英哩高的理想山),但是這個角度,儘管很小,還是在當時儀器的理論測量範圍之內[3]

任何一個測試牛頓萬有引力定律的實驗都有兩個作用:一、為該定律提供證據;二、為地球的質量與密度提供近似值。而對於天文物體的質量,由於已知的只有各天體間的相對質量比,所以只要知道地球質量的大小,就能知道其他天體質量的合理數值,這些天體包括行星、它們的衛星,還有太陽。雖然這項實驗的數據也能用於計算萬有引力常數G 的大小,但是這不是當時實驗者的目標;而G 最早的參考數值,則要再等幾乎一百年,才出現在科學文獻中[4]

尋找那座山[编辑]

欽博拉索山,1738年法國人實驗的對象。

1738年,欽博拉索山[编辑]

一對法國天文學家,皮埃爾·布格(Pierre Bouguer)和夏爾·瑪麗·德·拉·孔達米納(Charles Marie de La Contamine),是最早進行這項實驗的人,而他們在1738年的實驗地為厄瓜多爾欽博拉索山[5],山高6,268米。當時他們的探險隊,為了測量一度緯度內的子午線弧長,而在1738年離開了法國,前往赤道上的南美洲,但是他們卻乘機進行了這項偏移實驗。1738年12月,他們在非常困難的地形和氣候下,於海拔4,680米和4,340米的地方,進行了兩次測量[6]。布格在1749年的一份論文上說他們量度到8角秒的偏移,但是他卻低估了這次結果的重要性,還說這項實驗應該在條件較好英國或法國進行[3][6]。他還補充說,這次實驗最少證明了,地球不可能是空殼。當時有思想家認為地球可能是空的,當中包括了愛德蒙·哈雷[5]

1774年,榭赫倫山[编辑]

蘭洛克湖望過去,可見榭赫倫山對稱的山脊。

當時的皇家天文學家內維爾·馬斯基林(Nevil Maskelyne)於1772年向皇家學會提出,應該再多進行一次這項實驗[7]。他還說這實驗會“為進行它的國家帶來榮耀”[3],更提出兩處適合的實驗地:約克郡渾塞德峰(Whernside),及坎伯蘭布倫卡思拉-斯克道(Blencathra-Skiddaw)古地塊。為此,皇家學會組成了引力委員會,來考慮這件事,委員包括馬斯基林、約瑟夫·班克斯(Joseph Banks)和本傑明·富蘭克林[8]。為了找到一座適合實驗的山,於是委員會派遣天文學家兼測量學家查理斯·梅森(Charles Mason)去進行調查。

經過1773年夏季的漫長搜尋後,梅森回報說最佳的候選地是榭赫倫山(Schiehallion,當時寫法為Schehallien),它位處蘇格蘭高地的中央,在泰湖(Loch Tay)與蘭洛湖(Loch Rannoch)之間,山高1,083米[8]。山的聳立之處看起來像被其他山孤立,而且附近的山離它都不太近,這樣它們對實驗的引力影響會較低,加上榭赫倫山的山脊東西對稱,這樣會簡化計算。還有它陡峭的南北山脊離山的重心很近,這樣會使偏移最大化。

然而,梅森拒絕以每天一堅尼的工資,自己執行是次實驗[8] 。於是這個任務就落在馬斯基林的手中,因此他被批准暫時卸下皇家天文學家的職務。為了執行這次任務,他有兩名副手,數學家兼測量學家查理斯·赫頓(Charles Hutton),和任職於皇家格林尼治天文台的數學家魯賓·巴羅(Reuben Burrow)。另外還僱有一隊勞工,負責興建天文學家的觀測站,和協助勘測。科學隊伍的配備齊全且精良:包括30厘米的黃銅象限儀,1769年庫克船長出航觀測金星凌日時就有帶它;3米長的天頂儀,還有一座準確的擺鐘,用於為天文觀測所需的時間測定[9]。為了勘測山體,他們還取得了經緯儀甘特鏈和一對氣壓計,用於量度海拔[9]。而且當時,皇家學會能夠為實驗提供豐厚的撥款,因為英皇將之前考察金星凌日的撥款餘額,交付了給學會[1][3]

測量[编辑]

天文[编辑]

圖中,Z為通過天體測量學所得的真天頂Z'則為由鉛垂確定的視天頂,而實驗要測量的偏角就兩者間的差。

為了這項實驗,團隊在山的南北麓各興建了一所觀測站,還興建了一座簡陋的小屋,作裝備儲藏及科學家住宿之用[6]。而大部份勞工則住在用帆布搭建的帳篷中。最早進行的是馬斯基林的天文測量。為了實驗,他必須測定出鉛垂的天頂距離,這個測量需要利用天上的一組星,而在量度時星必須通過正南線[3][10][11]。由於起霧和下雨的關係,所以天氣狀況並不理想。然而,馬斯基林還是在南觀測站,成功向某方向的34顆星作了76次測量,還有向另一方向的39顆星作了93次。之後,他到了北觀測站,再向一組32顆星作了68次測量,又向另一組37顆星作了100次[6]。他在測量時把天頂儀的平面朝向東方,然後轉往西方再測量,這樣他成功地避開了儀器小口徑化所帶來的系統誤差[1]

為了判定山所造成的偏移,有必要考慮地球表面的彎曲:當緯度不同時,當地的觀測者會發現天頂的位置不同,其偏移角度與緯度變化的度數一致。另外觀測時還會遇上各種不同的效應,例如進動光行差章動,在考慮過這些效應之後,馬斯基林指出,榭赫倫山南與山北的可見天頂,兩者間的偏角為54.6角秒[6]。之後,勘測隊伍交上了他們對南北觀測站緯度差的結果,為42.94角秒,於是馬斯基林把這個數值和他的天頂偏角值相減,再將數值按他的測量準確度整數化,他宣佈南北兩地的鉛垂偏角和為11.6角秒[3][6][12]

馬斯基林將他的初步結果發表於1775年的《自然科學會報[12],當中他用了初測時的山形數據,以及用這組數據推算出的重心位置。根據這組數據,馬斯基林認為,假如榭赫倫山的平均密度與地球一样,那麼鉛垂偏角應為20.9角秒[3][13]。由於實驗結果約為上述角度的一半,所以馬斯基林能初步宣佈,地球的平均密度約為榭赫倫山的兩倍。更準確的結果,需要等到勘測過程完工後才會有[12]

此外,馬斯基林還乘機指出,榭赫倫山表現出引力,因此所有山都有引力;而且牛頓的引力反平方定律也被確認了[12][14]。皇家學會對馬斯基林的研究表示欣賞,並將1775年的科普利獎章授予馬斯基林;傳記家亞歷山大·查爾摩斯(Alexander Chalmers)寫道:“如果還有任何對牛頓系統真實性的懷疑,那麼它們現在全部都被移除了。”[15]

勘測[编辑]

勘測隊伍的工作進度,被持續惡劣的天氣大幅延誤,直至1776年才完成勘測[13]。為找出山的體積,計算時需要把山分成一組垂直的柱體,然後計算每一個柱體的體積。三角測量的工作由赫頓負責,而這是一項工作量很大的測量:勘測員需要在山的周圍,超過一千個點上,一共量出數以千計的方位角[16]。此外,計算用柱體的頂點,並不一定會便利地落在勘測的高度上。為了理解全部數據,他決定使用內插法,在各測量值間放置一系列的線,線之間的高度差固定,線上的點都位於等高的位置。這樣做的話,他不但可以簡單地判定柱體的高度,而且能從線的迴旋度立刻得知地形的形式。就是這樣,赫頓首創了等高線,從那時起這項發明就廣泛應用於地形圖的繪製[6][16]

赫頓的太陽系密度表
天體 密度(kg·m−3
1778年赫頓[17] 現代值[18]
太陽 1,100 1,408
水星 9,200 5,427
金星 5,800 5,204
地球 4,500 5,515
月球 3,100 3,340
火星 3,300 3,934
木星 1,100 1,326
土星   410   687

赫頓必須計算出眾多格子上每一個柱體所造成的個別引力作用,而這項計算的工作量,跟勘測本身相差無幾。在測量完成後,這項工作再花了他兩年的時間,才能發表實驗結果,最後他在1778年向皇家學會提交了一份一百頁的報告論文[17]。假設地球與榭赫倫山的平均密度一致,他發現地球對鉛錘的吸引力,比在南北觀測站所得的吸引力和,要大9,933倍[16]。在考慮過緯度對地球引力的影響後,實際的擺偏角11.6"對應的比值為17,804:1 ,由於擺偏角的值為實驗值,所以赫頓能夠寫下,地球的密度值為榭赫倫山的\tfrac{17,804}{9,933}倍,或約\tfrac{9}{5}[13][16][17]。因此漫長的勘測過程,並沒有太大地影響馬斯基林的計算結果。赫頓取榭赫倫山的密度值為2,500 kg·m−3,並宣佈地球的密度值為它的\tfrac{9}{5}倍,即4,500 kg·m−3[16]。對比現在所採納的數值,5,515 kg·m−3[18],當時地球密度值的誤差小於20%。

由於地球的平均密度,比表面的石塊的密度要大得多,因此這很自然地意味着,地球的內部埋藏着密度更高的材質。赫頓正確地推測出,核心物質很有可能是金屬,密度值為10,000 kg·m−3[16]。他估算出這金屬部份,大概佔地球直徑的65%[17]。有了地球平均密度的數值,再加上傑羅姆·拉朗德的行星天文表,赫頓能夠計算出太陽系內各天體的密度值(見右表),而在這之前,有的只是各天體密度間的相對比值[17]

實驗重新操作[编辑]

在榭赫倫實驗後的24年後,出現了一種更直接且更準確的方法,來量度地球的平均密度,亨利·卡文迪什於1798年用一個靈敏度極高的扭秤,來量度兩個大球間的引力作用。卡文迪什得出的數值為5,448 ± 0.033 kg·m−3,跟現代數值的5,515 kg·m−3,只差1.2%,數值自卡文迪什後一直沒有太大的改進,這個狀況要到1895年才由查理斯·博伊斯(Charles Boys)改變[19]。卡文迪什進行實驗時的用心,與實驗的準確度,使得他的名字一開始就跟這項實驗聯繫了起來[20]

約翰·普萊費爾(John Playfair)於1811年對榭赫倫山進行了第二次勘測:基於他對那兒石地層的新認知,於是他提出地球的密度值應在4,560至4,870 kg·m−3之間[21],但當時年邁的赫頓在1821年一份提交皇家學會的論文中,還堅決地為自己的原數值辯護[3][22] 。而普雷費爾的計算,使密度值更接近現代的數值,但是仍然太低,而且還比十多年前卡文迪什的數值要差得多。

位於愛丁堡亞瑟王寶座峰,是亨利·詹姆斯在1856年的實驗場所。

亨利·詹姆斯於1856年重做了榭赫倫實驗,他是當時英國地形測量局的局長,而實驗地則改在愛丁堡中央的亞瑟王寶座峰(Arthur's seat)[6][11][23]。運用測量局的資源,詹姆斯把他的測量範圍擴大至半徑21千米,到達中洛錫安的邊界。而他得出的地球密度數值為5,300 kg·m−3[3][13]

而2005年進行的一次實驗,與1774年的實驗有些許不同:該實驗不再測量天頂的當地觀測差,而測量擺在榭赫倫山上及山下時的週期差,實驗能非常準確地測量到這一點。而擺的週期則是g函數g是當地的重力加速度。雖然擺在海拔高時速度會較慢,但是山的質量會使這個差減少。相以之下,這個實驗的優點是,進行起來要比1774年的簡單得多,但是還是能夠得到所需的準確度,不過就需要把擺的週期量度至其一百萬分之一[10] 。而這項實驗得到地球質量值為8.1 ± 2.4×1024 kg[24],其對應平均密度值為7,500 ± 1,900 kg·m−3

如果用現代方法來重新研究地球物理數據,就可以顧及到1774年實驗隊伍所未能考慮的因素。由於有了直徑120公里的數字地面模型,所以對榭赫倫山的地質知識也被大幅改進,再加上電腦帶來的好處,2007年的一份報告得出的地球平均密度值為5,480 ± 250 kg·m−3[25]。當與現代值的5,515 kg·m−3比較,再比較2007年的數值,就可見當年馬斯基林天文測量的準確度之高[25]

數學步驟[编辑]

榭赫倫實驗的力圖

榭赫倫實驗的力圖如右,其中偏角被大幅度誇大。分析時只考慮山一邊的吸引力,這樣分析會簡單得多[21]。設山的質量及密度分別為MMρM,其質心則為P,一質量為m的鉛錘,被置於離P點距離為d的地方。由於山的吸引力F,鉛錘輕微向P偏移,擺繩與垂直向地的重量W間的角度,為小偏角θWF向量和,構成擺繩中的張力T。又設地球的質量為ME,半徑為rE及密度為ρE

作用於鉛錘的兩股引力,可由牛頓萬有引力定律求得:


F = \frac {G m M_M} {d^2} ,\quad W = \frac {G m M_E} {r_E^2}

其中G牛頓萬有引力常數。取FW間的比值,此時Gm會被除去:


\frac {F} {W} 
= \frac {(G m M_M) / d^2} {(G m M_E) / r_E^2} 
= \frac {M_M}{M_E} {\left( \frac {r_E}{d} \right)}^2
= \frac {\rho_M} {\rho_E} \frac {V_M} {V_E} {\left( \frac {r_E}{d} \right)}^2

其中VMVE為山及地球的體積。在靜力平衡下,擺繩張力的垂直及水平分量,可由引力及偏角θ表示:


W = T \cos \theta ,\quad F = T \sin \theta

代入T,得:


\tan \theta
= \frac {F} {W} 
= \frac {\rho_M}{\rho_E} \frac {V_M}{V_E} {\left( \frac {r_E}{d} \right)}^2

其中已知VEVMdrE,而實驗測量了θ,於是代入各數值,可用下式計算出ρE : ρM 的值[21]


\frac {\rho_E}{\rho_M} = \frac {V_M}{V_E} {\left( \frac {r_E}{d} \right)}^2 \frac {1}{\tan \theta}

在1774年實驗中,使用了南北觀測站,其數學分析仍與上面的單邊分析相近。在雙邊時,可將\tan \theta 的表達式寫兩次:一次為北站的\theta_N,一次為南站的\theta_S,兩式相加後使用小角近似(\tan \theta \sim \theta),整理右方可得[25]


\theta_N + \theta_S = \frac{r^2}{GM_E}(F_N+F_S)

代入M_E=\tfrac{4}{3}\rho_E\pi r_E^3(地球半徑當時是已知的),得


\rho_E=\frac{3(F_N+F_S)}{4\pi r G (\theta_N+\theta_S)}

其中\tfrac{F_N+F_J}{G}由勘測所得,附上引力常數的原因是當時並未有這個概念。

註釋[编辑]

註解一當時位於秘魯總督區
註解二梅森之前曾和傑里邁亞·狄克森(Jeremiah Dixon),在美國國土上標記了梅森-狄克森線,這條線把當時的美國分成南北兩部份。
註解三原建築現已被催毀,但在山邊還是可以找到它們殘存的部份。
註解四嚴格來說,這是一項重新創作:愛德蒙·哈雷在1701年畫出了標記等量磁偏移的線(等磁偏線),荷蘭地圖學家尼科拉斯·克雷克(Nicolaas Kruik)在1727年也畫出了標記等深度的線(等深線)。
註解五在卡文迪許的論文上,其值為5,480 kg·m−3。但是他算錯了:他的測量數據實際上指向5,448 kg·m−3這個值;直到1821年,才由弗朗西斯·貝利找到這個錯誤。
註解六所用的地球體積值為1.0832×1012 km3

參考資料[编辑]

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