樊土畿不等式

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樊(Ky Fan)不等式，是华裔数学家樊发现的一个不等式。這個不等式的意義，在於因其與算幾不等式相似，從中可以推廣出很多結果。

目录

[编辑] 敘述

樊不等式，用最簡單的形式可以表述為：

如果實數x_1, \ldots, x_n\ 都符合0 < x_i \le {1 \over 2}，那麼

\frac{\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}}{\left(\prod_{i=1}^n (1-x_i)\right)^{1/n}} \le \frac {{1 \over n} \sum_{i=1}^n x_i}{{1 \over n} \sum_{i=1}^n (1-x_i)}，

等式成立當且僅當x_1 = \cdots = x_n。

若分別記x_i\;的算術平均和幾何平均為A_n:=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i ，G_n:=\left(\prod_{i=1}^n x_i \right)^{\frac{1}{n}}；又記1-x_i\;的這兩種平均為A^\prime_n:=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (1-x_i) ，G^\prime_n:=\left(\prod_{i=1}^n (1-x_i) \right)^{\frac{1}{n}}，那麼不等式可寫作

\frac{G_n}{G^\prime_n}\leq\frac{A_n}{A^\prime_n}。

如此可以看出它和算幾不等式G_n\leq A_n的相似處。

[编辑] 證明

利用函數f(x)=\ln x -\ln (1-x)\;在0<x\leq\frac{1}{2}的凹性，套用延森不等式，這樣得到一個簡單的證明。這證明可以直接推廣至不等式的加權形式：

\frac{ \prod_{i=1}^n x_i^{\gamma_i} }{ \prod_{i=1}^n \left(1- x_i \right)^{\gamma_i}}\leq\frac{ \sum_{i=1}^n \gamma_ix_i }{ \sum_{i=1}^n \gamma_i\left(1- x_i \right) } ，

其中\gamma_i\geq 0，\sum_{i=1}^n \gamma_i =1。

[编辑] 相關不等式

如果記調和平均為H_n:=\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 1/x_i} ，H^\prime_n:=\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 1/(1-x_i)} ，在W. Wang, P. Wang (1984)有如下推廣：

\frac{H_n}{H^\prime_n}\leq\frac{G_n}{G^\prime_n}\leq\frac{A_n}{A^\prime_n}。

[编辑] 參考文獻

来自“http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%8A%E5%9C%9F%E7%95%BF%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F”
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