樊(⼟畿)不等式

樊，华裔数学家樊发现的一个不等式。這個不等式的意義，在於因其與算幾不等式相似，從中可以推廣出很多結果。

敘述

樊不等式，用最簡單的形式可以表述為：

如果實數$x_1, \ldots, x_n\$都符合$0 < x_i \le {1 \over 2}$，那麼

$\frac{\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}}{\left(\prod_{i=1}^n (1-x_i)\right)^{1/n}} \le \frac {{1 \over n} \sum_{i=1}^n x_i}{{1 \over n} \sum_{i=1}^n (1-x_i)}$，

等式成立當且僅當$x_1 = \cdots = x_n$。

若分別記$x_i\;$的算術平均和幾何平均為$A_n:=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$，$G_n:=\left(\prod_{i=1}^n x_i \right)^{\frac{1}{n}}$；又記$1-x_i\;$的這兩種平均為$A^\prime_n:=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (1-x_i)$，$G^\prime_n:=\left(\prod_{i=1}^n (1-x_i) \right)^{\frac{1}{n}}$，那麼不等式可寫作

$\frac{G_n}{G^\prime_n}\leq\frac{A_n}{A^\prime_n}$。

如此可以看出它和算幾不等式$G_n\leq A_n$的相似處。

證明

利用函數$f(x)=\ln x -\ln (1-x)\;$在$0<x\leq\frac{1}{2}$的凹性，套用延森不等式，這樣得到一個簡單的證明。這證明可以直接推廣至不等式的加權形式：

$\frac{ \prod_{i=1}^n x_i^{\gamma_i} }{ \prod_{i=1}^n \left(1- x_i \right)^{\gamma_i}}\leq\frac{ \sum_{i=1}^n \gamma_ix_i }{ \sum_{i=1}^n \gamma_i\left(1- x_i \right) }$，

其中$\gamma_i\geq 0$，$\sum_{i=1}^n \gamma_i =1$。

相關不等式

如果記調和平均為$H_n:=\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 1/x_i}$，$H^\prime_n:=\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 1/(1-x_i)}$，在W. Wang, P. Wang (1984)有如下推廣：

$\frac{H_n}{H^\prime_n}\leq\frac{G_n}{G^\prime_n}\leq\frac{A_n}{A^\prime_n}$。

參考文獻

• Horst Alzer: Verschärfung einer Ungleichung von Ky Fan. Aequationes Mathematicae 36 (1988) 246-250.
• E. F. Beckenbach, R. Bellman: Inequalities. Springer-Verlag, Berlin 1983, 引用在 Alzer (1988).
• Edward Neuman, Jósef Sándor: On the Ky Fan inequality and related inequalities I. Mathematical Inequalities & Applications. Volume 5, Number 1 (2002), 49–56.
• Edward Neuman, Jósef Sándor: On the Ky Fan inequality and related inequalities II. Bulletin of the Australian Mathematical Society. Volume 72, Number 1 (2005), 87-107.
• Jósef Sándor, Tiberiu Trif: A new refinement of the Ky Fan inequality. Mathematical Inequalities & Applications. Volume 2, Number 4 (1999), 529–533.
• W. Wang, P. Wang: A class of inequalities for the symmetric functions (中文) Acta Math. Sinica 27 (1984), 485-497, 引用在 Alzer (1988).