樊(⼟畿)不等式

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缺字图片不等式,华裔数学家缺字图片发现的一个不等式。這個不等式的意義,在於因其與算幾不等式相似,從中可以推廣出很多結果。

敘述[编辑]

缺字图片不等式,用最簡單的形式可以表述為:

如果實數x_1, \ldots, x_n\ 都符合0 < x_i \le {1 \over 2},那麼


\frac{\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}}{\left(\prod_{i=1}^n (1-x_i)\right)^{1/n}} \le \frac {{1 \over n} \sum_{i=1}^n x_i}{{1 \over n} \sum_{i=1}^n (1-x_i)}

等式成立當且僅當x_1 = \cdots = x_n

若分別記x_i\;算術平均幾何平均A_n:=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i G_n:=\left(\prod_{i=1}^n x_i \right)^{\frac{1}{n}};又記1-x_i\;的這兩種平均為A^\prime_n:=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (1-x_i) G^\prime_n:=\left(\prod_{i=1}^n (1-x_i) \right)^{\frac{1}{n}},那麼不等式可寫作

\frac{G_n}{G^\prime_n}\leq\frac{A_n}{A^\prime_n}

如此可以看出它和算幾不等式G_n\leq A_n的相似處。

證明[编辑]

利用函數f(x)=\ln x -\ln (1-x)\;0<x\leq\frac{1}{2}凹性,套用延森不等式,這樣得到一個簡單的證明。這證明可以直接推廣至不等式的加權形式:

 \frac{ \prod_{i=1}^n x_i^{\gamma_i} }{ \prod_{i=1}^n \left(1- x_i \right)^{\gamma_i}}\leq\frac{ \sum_{i=1}^n \gamma_ix_i }{ \sum_{i=1}^n \gamma_i\left(1- x_i \right) }

其中\gamma_i\geq 0\sum_{i=1}^n \gamma_i =1

相關不等式[编辑]

如果記調和平均H_n:=\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 1/x_i} H^\prime_n:=\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 1/(1-x_i)} ,在W. Wang, P. Wang (1984)有如下推廣:

\frac{H_n}{H^\prime_n}\leq\frac{G_n}{G^\prime_n}\leq\frac{A_n}{A^\prime_n}

參考文獻[编辑]