標準差

標準差（英语：Standard Deviation），数学符号σ，在概率統計中最常使用作為統計分佈程度（statistical dispersion）上的測量。標準差定義為方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。測量到分佈程度的結果，原則上具有兩種性質：

為非負數值；
與測量資料具有相同單位。

一個總量的標準差或一個隨機變量的標準差，及一個子集合樣品數的標準差之間，有所差別。其公式如下所列。

標準差的觀念是由卡爾·皮爾遜（Karl Pearson）引入到統計中。

闡述及應用 [编辑]

簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。

例如，兩組數的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二個集合具有較小的標準差。

表述“相差 k 个标准差”，即在 $\mu \pm k\sigma$ 的样本(Sample)范围内考量。

標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。

標準差應用於投資上，可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，標準差數值越小，代表回報較為穩定，風險亦較小。

母體的標準差 [编辑]

基本定義 [编辑]

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}$

簡易口訣：離均差平方和的平均

简化计算公式 [编辑]

上述公式可以如下代換而簡化：

$\begin{align} \sum_{i=1}^N (X_i - \mu)^2 & = {} \sum_{i=1}^N (X_i^2 - 2 X_i\mu + \mu^2) \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N X_i^2\right) - \left(2 \mu \sum_{i=1}^N X_i\right) + N\mu^2 \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N X_i^2\right) - 2 \mu (N\mu) + N\mu^2 \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N X_i^2\right) - 2N\mu^2 + N\mu^2 \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N X_i^2\right) - N\mu^2 \end{align}$

所以：

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}$

$= \sqrt{\frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N X_i^2\right) - \frac{1}{N}N\mu^2}$

$= \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^N X_i^2}{N} - \mu^2 }$

根號裡面，亦即變異數（ $\sigma^2$ ）的簡易口訣為：「平方的平均」減去「平均的平方」。

母體為随机变量 [编辑]

一隨機變量 $X$ 的標準差定義為：

$\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}$

須注意並非所有隨機變量都具有標準差，因為有些隨機變量不存在期望值。如果隨機變量 $X$ 為 $x_1, \cdots, x_n$ 具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。

離散随机变量的标准差 [编辑]

若 $X$ 是由實數 $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ 構成的離散隨機變數（英语：discrete random variable），且每個值的機率相等，則 $X$ 的標準差定義為：

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\left[(x_1-\mu)^2 + (x_2-\mu)^2 + \cdots + (x_N - \mu)^2\right]}$ 　，其中　 $\mu = \frac{1}{N} (x_1 + \cdots + x_N)$

換成用 $\sum$ 來寫，就成為：

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}$ 　，其中　 $\mu = \frac{1}{N} (x_1 + \cdots + x_N)$

目前為止，與母體標準差的基本公式一致。

然而若每個 $x_i$ 可以有不同機率 $p_i$ ，則 $X$ 的标准差定義為：

$\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_i(x_i - \mu)^2}$ 　，其中　 $\mu = \sum_{i=1}^N p_i x_i.$

连续随机变量的标准差 [编辑]

若 $X$ 為概率密度 $p(X)$ 的连续随机变量（英语：diskrete random variable），則 $X$ 的标准差定義為：

$\sigma = \sqrt{\int (x-\mu)^2 \, p(x) \, dx}$

其中

$\mu = \int x \, p(x) \, dx$

标准差的特殊性质 [编辑]

对于常数 $c$ 和随机变量 $X$ 和 $Y$ ：

$\sigma(X+c)=\sigma(X)$

$\sigma(cX)=c\cdot\sigma(X)$

$\sigma(X+Y) = \sqrt{ \sigma^2(X) + \sigma^2(Y) + 2\cdot\mbox{cov} (X,Y)}$

其中： $\mbox{cov}(X,Y)$ 表示随机变量 $X$ 和 $Y$ 的协方差。

样本的标准差 [编辑]

在真实世界中，找到一个总体的真实的标准差是不现实的。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

從一大組數值 $X_1, \cdots, X_N$ 當中取出一樣本數值組合 $x_1, \cdots, x_n : n < N$ ，常定義其樣本標準差：

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}$

样本方差 $s^2$ 是对总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计。 $s$ 中分母为 $n-1$ （相較於母體 $\sigma$ 中的分母為 $n$ ），是因为 $\left( x_i - \bar{x} \right)$ 的自由度为 $n - 1$ ，这是由于存在约束条件 $\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right) = 0$ 。

範例 [编辑]

這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為 { 5, 6, 8, 9 } ：

第一步，計算平均值 $\overline{x}$ ︰

$\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$

當 $\begin{smallmatrix}N = 4\end{smallmatrix}$ （因為集合裏有 4 個數），分別設為：

$\begin{align} x_1 &= 5 \\ x_2 &= 6 \\ x_3 &= 8 \\ x_4 &= 9 \\ \end{align}$

$\overline{x}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_i$ 　　　　　　 $(N = 4)$

$\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( x_1 + x_2 + x_3 +x_4 \right )$

$\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( 5 + 6 + 8 + 9 \right )$

$\overline{x}= 7$ 　　　　　　（此為平均值）

第二步，計算標準差 $\sigma\,$ ︰

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - \overline{x})^2}$ 　　　　　　 $(N = 4)$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - 7)^2}$ 　　　　　　 $(\overline{x} = 7)$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (x_1 - 7)^2 + (x_2 - 7)^2 + (x_3 - 7)^2 + (x_4 - 7)^2 \right ] }$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (5 - 7)^2 + (6 - 7)^2 + (8 - 7)^2 + (9 - 7)^2 \right ] }$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( (-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 \right ) }$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( 4 + 1 + 1 + 4 \right ) }$

$\sigma = \sqrt{\frac{10}{4}}$

$\sigma = 1.5811\,\!$ 　　　　　　（此為標準差）

常態分佈的規則 [编辑]

深藍區域是距平均值小於一個標準差之內的數值範圍，在常態分佈中，此範圍所佔比率為全部數值之 68%；兩個標準差之內（深藍，藍）的比率合起來為 95%；三個標準差之內（深藍，藍，淺藍）的比率合起來為 99.7% 。

在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確，則約 68% 數值分佈在距離平均值有 1 個標準差之內的範圍，約 95% 數值分佈在距離平均值有 2 個標準差之內的範圍，以及約 99.7% 數值分佈在距離平均值有 3 個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7 法則」。

標準差與平均值之間的關係 [编辑]

一組數據的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。从某种意义上说，如果用平均值來考量數值的中心的话，則標準差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。較確切的敘述為：設 $X_1, \cdots, X_N$ 為實數，定義函数

$\sigma(\mu) = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}$

使用微積分或者通过配方法，不難算出 $\sigma(\mu)$ 在下面情況下具有唯一最小值：

$\mu = \overline{x}$

几何学解释 [编辑]

从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 $n$ 维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值， $X_1, X_2, X_3$ 。它们可以在3维空间中确定一个点 $P = (X_1, X_2, X_3)$ 。想像一条通过原点的直线 $L = {(r, r, r) : r \in \mathbb{R}}$ 。如果这组数据中的3个值都相等，则点 $P$ 就是直线 $L$ 上的一个点， $P$ 到 $L$ 的距离为0, 所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点 $P$ 作垂线 $PR$ 垂直于 $L$ ， $PR$ 交 $L$ 于点 $R$ ，则 $R$ 的坐标为这3个值的平均数：