標準差

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標準差，在概率統計中最常使用做為統計分佈程度（statistical dispersion）上的測量。標準差定義為方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。測量到分佈程度的結果，原則上具有兩種性質：

為非負數值，
與測量資料具有相同單位。

一個總量的標準差或一個隨機變量的標準差，及一個子集合樣品數的標準差之間，有所差別。其公式如下所列。

標準差的觀念是由卡爾·皮爾遜 ( Karl Pearson ) 引入到統計中。

[编辑] 闡述及應用

簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。

例如，兩組數的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二個集合具有較小的標準差。

標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。

標準差應用於投資上，可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，標準差數值越細，代表回報較為穩定，風險亦較小。

[编辑] 標準差的定義及簡易計算公式

[编辑] 标准计算公式

假設有一組數值 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ （皆為實數），其平均值為：

$\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$ .

此組數值的標準差為：

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}$ .

[编辑] 简化计算公式

上述公式可以变换为一个较简单的公式：

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - \overline{x}^2}.$

上述代数变换的过程如下：

$\begin{align} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2 & = {} \sum_{i=1}^N (x_i^2 - 2 x_i\overline{x} + \overline{x}^2) \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - \left(2 \overline{x} \sum_{i=1}^N x_i\right) + N\overline{x}^2 \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - 2 \overline{x} (N\overline{x}) + N\overline{x}^2 \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - 2N\overline{x}^2 + N\overline{x}^2 \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - N\overline{x}^2. \end{align}$

[编辑] 随机变量的标准差计算公式

一隨機變量 $X$ 的標準差定義為：

$\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}$ .

須注意並非所有隨機變量都具有標準差，因為有些隨機變量不存在期望值。如果隨機變量 $X$ 為 $x_1, \cdots, x_n$ 具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。

[编辑] 样本标准差

在真实世界中，除非在某些特殊情况下，找到一个总体的真实的标准差是不现实的。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

從一大組數值 $X_1, \cdots, X_N$ 當中取出一樣本數值組合 $x_1, \cdots, x_n : n < N$ ，常定義其樣本標準差：

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} .$

样本方差 $s 2$ 是对总体方差 $σ 2$ 的无偏估计。 $s$ 中分母为 $n - 1$ 是因为 $\left( x_i - \bar{x} \right)$ 的自由度为 $n - 1$ ，这是由于存在约束条件 $\sum_{i=1}^{N}\left(x_i - \bar{x}\right) = 0$ 。

[编辑] 连续随机变量的标准差计算公式

概率密度为 $p (x)$ 的连续随机变量 $x$ 的标准差是：

$\sigma = \sqrt{\int (x-\mu)^2 \, p(x) \, dx}$

其中

$\mu = \int x \, p(x) \, dx$

[编辑] 标准差的性质

对于常数 $c$ 和随机变量 $X$ 和 $Y$ ：

σ(X + c) = σ(X)

$\sigma(cX)=c\cdot\sigma(X)$

$\sigma(X+Y) = \sqrt{ \sigma^2(X) + \sigma^2(Y) + 2\cdot\mbox{cov} (X,Y)}$

其中：

cov(X, Y)

表示随机变量

X

和

Y

的协方差。

[编辑] 範例

這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為 { 5, 6, 8, 9 } ：

第一步，計算平均值 $\overline{x}$

$\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$ .

$n$ = 4 （因為集合裏有 4 個數），分別設為：

$x_1 = 5\,\!$

$x_2 = 6\,\!$

$x_3 = 8\,\!$

$x_4 = 9\,\!$

$\overline{x}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_i$ 用 4 取代

N

$\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( x_1 + x_2 + x_3 +x_4 \right )$

$\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( 5 + 6 + 8 + 9 \right )$

$\overline{x}= 7$ 此為平均值。

第二步，計算標準差 $\sigma\,\!$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - \overline{x})^2}$ 用 4 取代

N

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - 7)^2}$ 用 7 取代 $\overline{x}$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (x_1 - 7)^2 + (x_2 - 7)^2 + (x_3 - 7)^2 + (x_4 - 7)^2 \right ] }$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (5 - 7)^2 + (6 - 7)^2 + (8 - 7)^2 + (9 - 7)^2 \right ] }$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( (-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 \right ) }$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( 4 + 1 + 1 + 4 \right ) }$

$\sigma = \sqrt{\frac{10}{4}}$

$\sigma = 1.5811\,\!$ 此為標準差。

[编辑] 常態分佈的規則

深藍區域是距平均值小於一個標準差之內的數值範圍。在常態分佈中，此範圍所佔比率為全部數值之 68% 。根據常態分佈，兩個標準差之內（深藍，藍）的比率合起來為 95% 。根據常態分佈，三個標準差之內（深藍，藍，淺藍）的比率合起來為 99% 。

在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確，則約 68% 數值分佈在距離平均值有 1 個標準差之內的範圍，約 95% 數值分佈在距離平均值有 2 個標準差之內的範圍，以及約 99.7% 數值分佈在距離平均值有 3 個標準差之內的範圍。稱為 "68-95-99.7 rule"。

[编辑] 標準差與平均值之間的關係

一組數據的平均值及標準差常常同時做為參考的依據。在直覺上，如果數值的中心以平均值來考量，則標準差為統計分佈之一"自然"的測量。較確切的敘述為：假設 $X_1, \cdots, X_N$ 為實數，定義其公式

$\sigma(r) = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - r)^2}$

使用微積分，不難算出 $σ(r)$ 在下面情況下具有唯一最小值：

$r = \overline{x}$

[编辑] 几何学解释

从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 $n$ 维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值， $X 1, X 2, X 3$ 。它们可以在3维空间中确定一个点 $P = (X 1, X 2, X 3)$ 。想像一条通过原点的直线 $L = {(r, r, r) : r \in \mathbb{R}}$ 。如果这组数据中的3个值都相等，则点 $P$ 就是直线 $L$ 上的一个点， $P$ 到 $L$ 的距离为0, 所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点 $P$ 作垂线 $P R$ 垂直于 $L$ ， $P R$ 交 $L$ 于点 $R$ ，则 $R$ 的坐标为这3个值的平均数：

$R = (\overline{x},\overline{x},\overline{x})$

运用一些代数知识，不难发现点 $P$ 与点 $R$ 之间的距离(也就是点 $P$ 到直线 $L$ 的距离)是 $\sigma \sqrt{3}$ 。在 $n$ 维空间中，这个规律同样适用，把 $3$ 换成 $n$ 就可以了。

[编辑] 外部链接

Standard Deviation Calculator 标准差计算器（英文）

標準差