模

在抽象代數中，在環上的模的概念是對向量空間概念的推廣，這里不再要求純量位于域中，轉而純量可以位于任意環中。

因此，模同向量空間一樣是加法阿貝爾群；定義了在環元素和模元素之間乘積，并且這個乘積是符合結合律的(在同環中的乘法一起用的時候)和分配律的。

模非常密切的關聯於群的表示理論。它們還是交換代數和同調代數的中心概念，并廣泛的用于代數幾何和代數拓撲中。

定義

在環 (R,+,·) 上的一個左R-模包括一個阿貝爾群 (M, +)，以及一個算子 R × M -> M (叫做標量乘法或數積，通常記作 rx， r ∈ R 及 x ∈ M) 有

對所有 r,s ∈ R, x,y ∈ M,

1. (rs)x = r(sx)
2. (r+s)x = rx+sx
3. r(x+y) = rx+ry
4. 1x = x

一個左R-模 M 不時記作 _RM。

有數學家摒除第 4 個條件於一般左模定義之外，並把以上的結構稱為"帶單位元的左模"。

一個 右R-模 M 或 M_R 定義相似，只是環的元素在右邊，即是數積是 M × R -> M　而定義內 r 和 s 是在 x 和 y的右邊。若 R 是可交換的，則左 R-模與右R-模是一樣的，簡稱為 R-模。

若 R 是一個域則 R-模稱為向量空間。模是向量空間的推廣，有很多與向量間相同的性質，但通常沒基底。

例子

• 所有可置換群 M 是一個在整數環 Z的模，其數積是 nx = x + x + ... + x (n 個相加) 對於 n > 0, 0x = 0, 以及 (-n)x = -(nx) 對於 n < 0。
• 若 R 是一個環而 n 是一個自然數，則 Rⁿ 是一個 R-模。
• 若 M 是一個 光滑 流形，則由 M 至實數的光滑函数是一個環 R。在 M 上的所有向量場組成一個 R-模。
• 所有 n × n 實數矩陣組成一個環 R。歐幾里得空間 Rⁿ 是一個左R-模，當中數積就是矩陣乘法。
• 若 R 是一個環而 I 是其中一個左理想，則 I 是一個左R-模。

子模及同態

假設 M 是 左R-模兼 N 是 M的子集。N 是 _RM 的子模 (或更準確地，R-子集)如果對於所 n ∈ N 及 r ∈ R，乘積 rn ∈ N (若是右模， nr)。

若 M 和 N 是 左R-模，映射 f : M -> N 稱為 R-模同態 若然，對所有 m, n ∈ M及 r, s ∈ R，f(rm + sn) = rf(m) + sf(n)。像其他 同態，模同態保存了模的結構。

其他定義及表達法

若 M 是左 R-模，則一個 R 中元素 r 之作用定義為映射 M → M，它將每個 x 映至 rx （或者在右模的情況是 xr ），這必然是阿貝爾群 (M,+) 的群自同態。全體 M 的自同態記作 End_Z(M)，它在加法與合成下構成一環，而將 R 的元素 r 映至其作用則給出從 R 至 End_Z(M) 之同態。

如此的環同態 R → End_Z(M) 稱作 R 在阿貝爾群 M 上的一個表示。左 R-模的另一種等價定義是：一個阿貝爾群 M 配上一個 R 的表示。

一個表示稱作忠實的，若且唯若 R → End_Z(M) 是單射。以模論術語來說，這意謂若 r 是 R 的元素，且使得對所有 M 中的 x 都有 rx=0，則 r=0。任意阿貝爾群皆可表成整數環 Z 或其某一商環 Z/nZ 的忠實表示。