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模反元素

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整数a對同餘n之模反元素是指滿足以下公式的整數 b

a^{-1} \equiv b \pmod{n}.

也可以寫成以下的式子

ab \equiv 1 \pmod{n}.

整数 a 對模数 n 之模反元素存在的充分必要條件是 a 和 n 互質,若此模反元素存在,在模数 n 下的除法可以用和對應模反元素的乘法來達成,此概念和實數除法的概念相同。

求法[编辑]

可以用扩展欧几里得算法求模反元素。

设exgcd扩展欧几里得算法的函数,它接受两个整数a,b,输出三个整数g,x,y。g,x,y满足等式ax+by=g,且g是a,b的最大公约数

现在,求a关于模b的模反元素(a<b)。egcd(a,b)={g,x,y}。若g=1,则该模反元素存在,为b+x;若g不等于1,则该模反元素不存在。

举例[编辑]

求整数3对同余11的模逆元素x,

x \equiv 3^{-1} \pmod{11}

上述方程可变换为

3x \equiv 1 \pmod{11}

在整数范围\mathbb{Z}_{11}内,可以找到满足该同余等式的x值为4,如下式所示

3 (4) = 12 \equiv 1 \pmod{11}

并且,在整数范围\mathbb{Z}_{11}内不存在其他满足此同余等式的值。

故,整数3对同余11的模逆元素为4。

一旦在整数范围\mathbb{Z}_{11}内找到3的模逆元素,其他在整数范围\mathbb{Z}_{11} 内满足此同余等式的模逆元素值便可很容易地写出——只需加上m = 11 的倍数便可。

综上,所有整数3对同余11的模逆元素x可表示为

4 + (11 \cdot z ), z \in \mathbb{Z}

既{..., −18, −7, 4, 15, 26, ...}.