模曲線

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代數幾何數論領域,模曲線是一類緊黎曼曲面,同時也是定義於某數域上的射影代數曲線。模曲線是當代數論、表示理論及代數幾何中重要的課題。

「模曲線」一詞源於以下事實:模曲線參數化了一族橢圓曲線,因而是一種模空間志村簇是模曲線在高維度的類比。

定義[编辑]

考慮上半平面 \mathcal{H} := \{z \in \mathbb{C} : \hbox{Im}(z) > 0 \}。取 \mathcal{H}模群 \Gamma := \hbox{SL}(2,\Z) 的有限指數子群之商,所得到的未必是緊緻空間。作完備化後便得到模曲線。可以證明模曲線必然是 \mathbb{C} 上的平滑代數曲線;從複分析角度來看,便是緊黎曼曲面。

例子[编辑]

對正整數 N,定義同餘子群

\Gamma(N) := \hbox{Ker}(\hbox{SL}(2,\Z) \stackrel{\hbox{mod } N}{\longrightarrow} \hbox{SL}(2,\Z/N\Z))

相應的模曲線記為 X(N),也稱為古典模曲線。除了完備化添加的尖點外,其複值點一一對應於下述資料的同構等價類:

(E,P)E 是複橢圓曲線、P \in E(\mathbb{C})N-撓點。

N \leq 2 時,X(N)虧格等於零,否則其虧格則是

g(X(N)) = 1 + \frac{N^2(N-6)}{24} \prod_{p|N} (1-p^{-2})

\Gamma(N)模形式可理解為 X(N) 上某族線叢的截面。此時可以用幾何方式研究赫克算子,因為它們由模曲線之間的對應給出。

外部連結[编辑]