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機率流

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量子力學裏,機率流,又稱為機率通量,是描述機率密度流動的物理量。假若將機率密度想像為非均勻流體。那麼,機率流就是這流體的流率(機率密度乘以速度)。

定義[编辑]

量子力學裏,從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。設定一個量子系統的波函數為 \Psi(x,t) 。定義機率流 \mathbf{J}

\mathbf{J}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^*\right) = \frac\hbar m \mbox{Im}(\Psi^*\boldsymbol{\nabla}\Psi)

其中,\hbar約化普朗克常數m 是質量, \Psi^* \Psi共軛複數 \mbox{Im}() 是取括弧內項目的複值。

連續方程式與機率保守定律[编辑]

機率流滿足量子力學的連續方程式

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} = 0

其中,\rho = |\Psi|^2 是機率密度。

應用高斯公式,等價地以積分方程式表示,

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \mathrm{d}^3{r} + \oint_\mathbb{S}\mathbf{J}\cdot {\mathrm{d}\mathbf{a}} = 0(1)

其中,\mathbb{V} 是任意三維區域,\mathbb{S}\mathbb{V} 的邊界曲面。

這就是量子力學機率守恆定律的方程式。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項目(不包括對於時間的偏微分),即是測量粒子位置時,粒子在 \mathbb{V} 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 \mathbb{V} 的通量。總之,方程式 (1) 表明,粒子在三維區域 \mathbb{V} 內的機率對於時間的微分,加上機率流出三維區域 \mathbb{V} 的通量,兩者的總和等於零。

連續方程式導引[编辑]

測量粒子在三維區域 \mathbb{V} 內的機率 P

P= \int_\mathbb{V} \rho\,\mathrm{d}^3\mathbf{r} = \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3\mathbf{r}

機率對於時間的導數是

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3{r} = \int_\mathbb{V} \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t}\Psi^* + \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \right) \,\mathrm{d}^3{r}(2)

假設 \Psi含時薛丁格方程式

i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + U\Psi

其中,U(\mathbf{r})位勢

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ,可以得到

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \frac{\hbar}{2mi}  \left(\Psi^* \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2 \Psi^* \right)\,\mathrm{d}^3{r}

應用一則向量恆等式,可以得到

\boldsymbol{\nabla} \cdot \left(\Psi^*\boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \right) = \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi + \Psi^* \nabla^2 \Psi - \boldsymbol{\nabla} \Psi \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi^* - \Psi \nabla^2 \Psi^*

這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷,將抵銷後的方程式代入,

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \boldsymbol{\nabla} \cdot \left[\frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \right)\right]\,\mathrm{d}^3{r}

將機率密度方程式與機率流定義式代入,

\int_\mathbb{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,\mathrm{d}^3{r}= - \int_\mathbb{V} \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot\mathbf{J}\right)\,\mathrm{d}^3{r}

這相等式對於任意三維區域 \mathbb{V} 都成立,所以,被積項目在任何位置都必須等於零:

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J} = 0

範例[编辑]

平面波[编辑]

設定一個粒子的波函數 \Psi 為三維空間的平面波

\Psi(\mathbf{r},\,t)=A e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} e^{i \omega t}

其中,A振幅常數,\mathbf{k}波數\mathbf{r} 是位置,\omega角頻率t 是時間。

\Psi 的機率流是

\mathbf{J}= \frac{\hbar}{2mi} |A|^2 \left( e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \boldsymbol{\nabla} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} - e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \boldsymbol{\nabla} e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\right) = |A|^2 \frac{\hbar\mathbf{k}}{m}

這只是振幅的平方乘以粒子的速度 \mathbf{v} = \frac{\mathbf{p}}{m} = \frac{\hbar\mathbf{k}}{m}

請注意,雖然這平面波是定態,在每一個的地點,\frac{d|\Psi|^2}{dt} = 0 ,但是機率流仍舊不等於 0 。因此可以推論,雖然機率密度不顯性地跟時間有關,粒子仍可能移動於空間中。

盒中粒子[编辑]

一維盒子位勢,即一個無限深方形阱,阱內位勢為 0 ,阱外位勢為無限大。

思考一維盒中粒子問題,能級為 E_n本徵波函數 \Psi_n

\Psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{n\pi}{L} x \right),\qquad 0 \le x \le L

其中,L 是一維盒子的寬度,兩扇盒壁的位置分別在 x=0x=L

由於 \Psi_n = \Psi_n^* ,其機率流為

J_n = \frac{\hbar}{2mi}\left( \Psi_n^* \frac{\partial \Psi_n}{\partial x} - \Psi_n \frac{\partial \Psi_n^*}{\partial x} \right) = 0

參閱[编辑]