橢圓函數

在複分析中，橢圓函數是複數平面上的雙週期亞純函數。歷史上，橢圓函數起初被視作橢圓積分之逆。

更明確地說，固定 $\mathbb{C}$ 中的格 $\Lambda := \mathbb{Z}a \oplus \mathbb{Z}b \subset \mathbb{C}$（$a,b \in \mathbb{C}$），亞純函數 $f$ 是 $\Lambda$ 的橢圓函數，若且唯若對每個 $z \in \mathbb{C}, \ell \in \Lambda$ 皆有 $f(z+\ell)=f(z)$（此即「雙週期」的含義）。

根據複分析中的極值原理，全純橢圓函數只能是常數函數，故非常數的橢圓函數必帶極點。

魏爾施特拉斯橢圓函數 $\wp(z;\Lambda)$ 是較簡單的例子，由 $\wp,\wp'$ 可構造所有的橢圓函數；Theta 函數雖非雙週期函數，但也能用來構造橢圓函數。

文獻

• Abramowitz, Milton en Stegun, Irene A., eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4. (Chapter 16, 18)