欧姆定律

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歐姆定律的參數是VIR

電路學裏,欧姆定律Ohm's law)表明,导电体两端的电压与通过导电体的电流成正比[1],以方程式表示,

V=IR

其中,V是電壓(也可以標記為U,方程式表示為U=IR),I是電流,比例常數R電阻

虽然导电体是由导电物质组成,导电体也具有微小的电阻。對於任意导电体、電阻器電路元件電路等等,電阻的定義方程式為:[1]

R\ \stackrel{def}{=}\ \frac{V}{I}

不論電流、電壓為何,電阻定義為電壓除以電流。在歐姆定律裏,電阻與電流、電壓無關。並不是每一種元件都遵守歐姆定律。歐姆定律是經過多次實驗而推斷的法則,只有在理想狀況下,才會成立。凡是遵守歐姆定律的元件或電路都稱為「歐姆元件」或「歐姆電路」,其電阻與電流、電壓無關;不遵守歐姆定律的元件或電路稱為「非歐姆元件」或「非歐姆電路」,其電阻可能會與電流、電壓有關。

歐姆定律是因德國物理學家格奧爾格·歐姆命名。於1827年,在他發表的一本通論《直流電路的數學研究》(The galvanic Circuit investigated mathematically)裏[2],他詳細的論述簡單電路兩端的電壓與流動於電路的電流之間的關係。他所論述的關係比較複雜,稍後會有更詳細說明。上述方程式乃是歐姆定律的現代版本。

對於電阻物質或導電物質,歐姆定律可以推廣為:

\mathbf{E} = \rho \mathbf{J}
\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}

其中,\mathbf{E}電場\mathbf{J}是物質的電流密度\rho是物質的電阻率\sigma=1/\rho是物質的電導率

遵守歐姆定律的物質,稱為「歐姆物質」,其電阻率\rho和電導率\sigma與電流密度、電場無關[1]

歷史[编辑]

格奧爾格·歐姆。

早於1753年,義大利物理學家喬凡尼·貝卡立亞Giovanni Beccaria)就在研究物質的導電性質。他在電路裏加裝了盛滿了水的玻璃管。當開啟電路後,發現玻璃管的截面面積越大,電流的放電強度越大[3]

亨利·卡文迪什也做了很多實驗,研究電動勢、電流、電阻之間的關係。他使用萊頓瓶為電流源,將電流通過在各種尺寸的玻璃試管裏盛裝的鹽溶液,靠著調整鹽溶液的高度,他可以控制放電強度。卡文迪什把自己身體當作一台生理檢流計,從親身體驗被電擊後的感覺,來估計電流的放電強度。他又選擇出一個裝滿鹽溶液的玻璃試管為標準,然後比較標準放電與試樣放電,按照放電強度的大小來估計它們的電阻。這樣,他可以定量地描述每一種試樣。於1781年1月,他記錄在筆記裏,電流與電動勢成正比。但是,他並沒有將這些珍貴的實驗結果告訴任何科學家。一直到馬克士威於1879年替他編輯注釋為著作《卡文迪什的電學研究》(The electrical researches of the Honourable Henry Cavendish)後,才見諸世面[4][5]。注意到卡文迪什使用的儀器相當原始粗陋,靠身體感覺很難做出精準的測量,萊頓瓶並不是穩定電流源。所以,學術界認為這耽擱了近百年的實驗結果並不足以證實歐姆定律。

從1825年到1826年之間,歐姆做了很多關於電阻的實驗。於1827年,他將得到的結果一同發表在著作《直流電路的數學研究》(The galvanic Circuit investigated mathematically)裏[6]。他從傅立葉對於熱傳導的研究得到了相當多的靈感,借用了很多傅立葉的點子來論述自己的結果。

歐姆是一位優秀的實驗者,很會設計與製造實驗設備,又具有精湛的數學修養與嚴謹的敬業態度。剛開始,他使用伏打電堆為電源,用安裝於扭秤(torsion balance)的磁針來測量電流的磁場力。載流導線的電流所產生的磁場與電流成正比,只要測量在載流導線附近的磁針所感受到的磁場力,就可以知道電流。他將電流通過不同長度的檢驗電線;由於長度不同,電阻也不同。歐姆仔細分析實驗結果,得到經驗方程式[7] [8]

\Delta I=m \ln\left(1+\frac{x}{a}\right)

其中,\Delta I是檢驗電線造成的電流差值,m是跟實驗參數有關的係數,x是檢驗電線的長度,a是跟固定長度的載流導線有關的常數。

歐姆的實驗設備。由於溫差,熱電偶會產生電動勢,促成電流流動於電阻電路。這電流又會產生磁場,使得固定於扭秤的磁針偏轉。從讀取磁針偏轉的角度,就可以知道電流。

歐姆很快地就覺得這方程式不太對勁。大約三年前,湯瑪斯·澤貝克Thomas Seebeck)發明使用熱電偶為電源。這種電源比伏打電源穩定。採納《物理與化學年鑑》的總編輯約翰·波根多夫Johann poggendorff)的建議,歐姆改用熱電偶為電源[9][10],將實驗重做一遍,得到經驗方程式:

X= \frac{a}{b + x}

其中,X是扭秤讀值,a是跟電動勢有關的常數,b是跟內部電阻有關的常數,x是檢驗電線的長度。

仔細詮釋這些變量,將Xabx分別詮釋為電流I、電壓V、內部電阻r、檢驗電阻R_x,那麼,假定總電阻Rr + R_x則經驗方程式變為歐姆定律的現代方程式版本:

I= \frac{V}{R}

歐姆定律可能是早期電學史最重要的定量理論。但是,當歐姆最初發表他的結果時,很多學術界同仁都激烈地批評反對他的理論。德國教育部長指責:「鼓吹這種異端邪說的教授不配教導科學[11]。」物理教授格奧爾格·魄爾Georg Pohl)這樣批評歐姆的著作:「以崇高眼光仰看這世界的人士,必須遠離這本無可救藥、妄生穿鑿的謬書,其唯一目的乃是徹底詆毀大自然的尊嚴[7]。」。那時候,德國正盛行的黑格爾哲學認為,因為大自然井井有序,而且只要經過合理推論就可獲得科學真理,所以,並不需要靠做實驗來了解大自然。歐姆的實驗方法可能引起了黑格爾門徒的強烈反感。

1839年,法國物理學家,克勞德·普雷特Claude Pouillet)確定歐姆的實驗結果。同時,歐姆成為柏林科學院的院士。在英國,查爾斯·惠斯通Charles Wheatstone)又重新核對了歐姆的實驗結果。1841年,歐姆被選為皇家學會的外籍會員。1852年,歐姆榮膺為慕尼黑大學的物理學系主任。

於1920年,物理學家發現,通過理想電阻器的電流會出現統計漲落,雖然當電壓和電阻為常數時,統計漲落會跟溫度有關。這種漲落稱為詹森-奈奎斯特噪音Johnson–Nyquist noise),是因為電荷的離散秉性而產生的現像。這熱效應意味著,假若取樣的時間間隔足夠短暫,電流或電壓的測值,其比例跟時間平均比例或系綜平均ensemble average)比例相比較,會出現漲落;也就是說,每一個電阻R的取樣值,跟R的時間平均或系綜平均相比較,會出現漲落。對於普通電阻物質案例,經過平均程序後,歐姆定律仍舊正確無誤。

歐姆對於電阻的研究在馬克士威方程組出現之前很久,那時科學家對於交流電路的頻率相關效應也不了解。但是,在適當範圍內,現代電磁理論與現代電路理論並沒有發現任何與歐姆定律相悖之處。

水力學類比[编辑]

歐姆定律可以用水力學類比hydraulic analogy)來描述。測量單位為帕斯卡的水壓,可以類比為電壓。在一根水管裏,由於任意兩點之間的水壓差會造成水流,水的流速(單位是公升每秒),可以類比為電流(單位是庫侖每秒)。「流量限制器」是安裝於水管與水管之間控制流量的閥門,可以類比為電阻器。通過流量限制器的水流流量,跟流量限制器兩端的水壓成正比,類似地,通過電阻器的電荷流量(電流),跟電阻器兩端的電壓成正比。這正是歐姆定律的論述。

流體流動網路的流量和流壓可以用水力學類比方法來計算[12][13]。這方法可以應用於穩定流暫態流transient flow)。對於線性層流泊肅葉定律Poiseuille's law)描述水管的水阻,但是對於湍流,流壓-流量關係變為非線性。

熱力學類比[编辑]

設定導電體的電導率與兩端的電壓,歐姆定律可以預測出通過這導電體的電流密度。類似地,設定導熱體的熱導率與兩端的溫差,約瑟夫·傅立葉熱傳導定律可以預測通過這導熱體的熱流[14]。同樣的方程式形式可以描述這兩種現象。對於每一種案例,方程式的變量有不同的意義。具體而言,歐姆定律的方程式為:

\mathbf{J}= - \sigma \nabla V

而熱傳導定律的方程式為:

\boldsymbol{\Gamma}= - k \nabla T

其中,\boldsymbol{\Gamma}熱通量heat flux),k是導熱體的熱導率,T是溫度。

思考參數為溫度、熱導率與熱通量的熱傳導問體,和參數為電壓、電導率與電流密度的電傳導問體。這兩個問題相互等價。假若能夠解析一個熱傳導問體,則也能夠解析電傳導問題;反之亦然。

電路分析[编辑]

電路學裏,電阻器(歐姆電阻器)是一種電路元件,其電阻與電壓、電流無關。電阻器可以按照歐姆定律阻抗電荷的通過。每一個電阻器都有其設計製成的電阻R。更嚴格地說,電阻器是在某操作域內遵守歐姆定律的電路元件;歐姆定律和唯一電阻值足夠描述這元件在相關操作域的行為。

串聯電阻電路[编辑]

n個電阻器串聯形成的電路。

串联电阻的总电阻等於各個电阻之和,以方程式表示,

R_\mathrm{total} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n

其中,R_i是第i個電阻,R_\mathrm{total}是總電阻。

假設在電路兩端的電壓為V,則通過的电流為I = {V}/{R_{total}}。假設每一個電阻器都遵守歐姆定律,則這電路是電阻為R_\mathrm{total}的歐姆電路。

並聯電阻電路[编辑]

n個電阻器並聯形成的電路。

相互并联的电阻,其总电阻的倒数等於其每个电阻的倒数和,以方程式表示:

{1 \over R_\mathrm{total}} = {1 \over R_{1}} + {1 \over R_{2}} + \cdots + {1 \over R_{n}}

假設在電路兩端的電壓為V,則通過的电流為I = {V}/{R_{total}}。假設每一個電阻器都遵守歐姆定律,則這電路是電阻為R_\mathrm{total}的歐姆電路。

週期性激發[编辑]

電容器電感器傳輸線等等,都是電路的電抗元件。假設施加週期性電壓或週期性電流於含有電抗元件的電路,則電壓與電流之間的關係式變成微分方程式。因為歐姆定律的方程式只涉及實值的電阻,不涉及可能含有電容電感的複值阻抗,所以,前面闡述的歐姆定律不能直接應用於這狀況。

最基本的週期性激發,像正弦激發或餘弦激發,都可以用指數函數來表達:

\sin{\omega t} =\frac{1}{2j}(e^{j\omega t} - e^{ - j\omega t})
\cos{\omega t} =\frac{1}{2}(e^{j\omega t} + e^{ - j\omega t})

其中,j虛數單位\omega是實值角頻率t時間

假設週期性激發為單頻率正弦激發,其角頻率為\omega。電阻為R的電阻器,其阻抗{Z}為:

{Z} =R

電感為L的電感器,其阻抗為:

{Z} = j\omega L

電容為C的電容器,其阻抗為:

{Z} =1/ j\omega C

電壓{V}與電流{I}的關係式為:

{V} = {I}  {Z}

注意到將阻抗{Z}替代電阻R,就可以得到這歐姆定律方程式的推廣。只有{Z}的實值部分會造成熱能的耗散。

對於這系統,電流和電壓的複值波形式分別為:

{I} ={I}_0 e^{j\omega t}
{V} ={V}_0 e^{j\omega t}

電流和電壓的實值部分real({I})real({V})分別描述這電路的真實正弦電流和正弦電壓。由於{I}_0{V}_0都是不同的複值純量,電流和電壓的相位可能會不一樣。

週期性激發可以傅立葉分解為不同角頻率的正弦函數激發。對於每一個角頻率的正弦函數激發,可以使用上述方法來計算響應。然後,將所有響應總和起來,就可以得到解答。

線性近似[编辑]

電流對電壓線圖。理想電阻器和PN接面二極體的V-I線分別以紅色和黑色顯示。

歐姆定律是電路分析circuit analysis)使用的幾個基本方程式之一。它可以應用於金屬導電體或特別為這行為所製備的電阻器。在電機工程學裏,這些東西無所不在。遵守歐姆定律的物質或元件稱為「歐姆物質」或「歐姆元件」。理論上,不論施加的電壓或電流、不論是直流或交流、不論是正極或負極,它們的電阻都不變[15]

但是,有些電路元件不遵守歐姆定律,它們的電壓與電流之間的關係(V-I線)乃非線性關係。PN接面二極體是一個顯明範例。如右圖所示,隨著二極體兩端電壓的遞增,電流並沒有線性遞增。給定外電壓,可以用V-I線來估計電流,而不能用歐姆定律來計算電流,因為電阻會因為電壓的不同而改變。另外,只有當外電壓為正值時,電流才會顯著地遞增;當施加的電壓為負值時,電流等於零。對於這類元件,V-I線的斜率\mathfrak{r},稱為「小信號電阻」(small-signal resistance)、「增量電阻」(incremental resistance)或「動態電阻」(dynamic resistance),定義為

\mathfrak{r}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}I}

單位也是歐姆,是很重要的電阻量,適用於計算非歐姆元件的電性[16]

溫度效應[编辑]

詹姆斯·馬克士威詮釋歐姆定律為,處於某狀態的導電體,其電動勢與產生的電流成正比。因此,電動勢與電流的比例,即電阻,不會隨著電流而改變。在這裡,電動勢就是導電體兩端的電壓。參考這句引述的上下文,修飾語「處於某狀態」,詮釋為處於常溫狀態,這是因為物質的電阻率通常跟溫度有關。根據焦耳定律,導電體的焦耳加熱Joule heating)與電流有關,當傳導電流於導電體時,導電體的溫度會改變。電阻對於溫度的相關性,使得在典型實驗裏,電阻跟電流有關,從而很不容易直接核對這形式的歐姆定律。於1876年,馬克士威與同事,共同設計出幾種測試歐姆定律的實驗方法,能夠特別凸顯出導電體對於加熱效應的響應[17]

其它版本的歐姆定律[编辑]

電機工程學電子工程學裏,歐姆定律妙用無窮,因為它能夠在宏觀層次表達電壓與電流之間的關係,即電路元件兩端的電壓與通過的電流之間的關係。在物理學裏,對於物質的微觀層次電性質研究,會使用到的歐姆定律,以向量方程式表達為:

\mathbf{E} = \rho \mathbf{J}
\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}
處於均勻外電場的均勻截面導電體(例如,電線)。

在導體內任意兩點g、h,定義電壓為將單位電荷從點g移動到點h,電場力所需做的機械功[18]

V_{gh}\stackrel{def}{=}\  \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}q}=\int_g^h {\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}}=\rho\int_g^h {\mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}}

其中,V_{gh}是電壓,w是機械功,q是電荷量,\mathrm{d} \mathbf{l}是微小線元素。

假設,沿著積分路徑,電流密度\mathbf{J}=J\hat{\mathbf{l}}為均勻電流密度,並且平行於微小線元素:

\mathrm{d} \mathbf{l}=\mathrm{d} l\hat{\mathbf{l}}

其中,\hat{\mathbf{l}}是積分路徑的單位向量。

那麼,可以得到電壓:

V_{gh}=J\rho l

其中,l是積分路徑的徑長。

假設導體具有均勻的電阻率,則通過導體的電流密度也是均勻的:

 J = I/a

其中,a是導體的截面面積。

電壓V_{gh}簡寫為V。電壓與電流成正比:

V=V_{gh}= I \rho l/a

總結,電阻與電阻率的關係為:

R = \rho l/a

假設J>0,則V>0;將單位電荷從點g移動到點h,電場力需要作的機械功w>0。所以,點g的電勢比點h的電勢高,從點g到點h的電勢差為 - V。從點g到點h,電壓降是V;從點h到點g,電壓升是V

給予一個具有完美晶格晶體,移動於這晶體的電子,其運動等價於移動於自由空間的具有有效質量effective mass)的電子的運動。所以,假設熱運動足夠微小,週期性結構沒有偏差,則這晶體的電阻等於零。但是,真實晶體並不完美,時常會出現晶體缺陷crystallographic defect),有些晶格點的原子可能不存在,可能會被雜質侵佔。這樣,晶格的週期性會被擾動,因而電子會發生散射。另外,假設溫度大於絕對溫度,則處於晶格點的原子會發生熱震動,會有熱震動的粒子,即聲子,移動於晶體。溫度越高,聲子越多。聲子會與電子發生碰撞,這過程稱為晶格散射lattice scattering)。主要由於上述兩種散射,自由電子的流動會被阻礙,晶體因此具有有限電阻[19]

凝聚態物理學研究物質的性質,特別是其電子結構。在凝聚態物理學裏,歐姆定律更複雜、更廣義的方程式非常重要,屬於本構方程式constitutive equation)與運輸係數理論theory of transport coefficients)的範圍。

經典微觀表述[编辑]

在德鲁德模型裏,電子(以藍色表示)不停地在固定不動的導電體離子(以紅色表示)之間移動與碰撞。假若施加電場於導電體,則電子的平均移動速度(稱為漂移速度)不等於零。電子的漂移速度方向與電場方向相反。

當施加外電場於導電體時,電流密度的響應,基本上是屬於量子力學性質。詳盡細節,請參閱經典與量子電導率classical and quantum conductivity)。保羅·德鲁德於1900年研究出的德鲁德模型,可以用經典物理解釋歐姆定律,描述自由電子移動於金屬導電體的物理行為[20] [21]

在德鲁德模型裏,自由電子會不停地移動碰撞於固定不動、組成整個金屬導電體晶格的正價離子之間。金屬裏的每一個自由電子,感受到電場力的作用,會呈加速運動。但是每當自由電子與晶格發生碰撞,其動能會遭受損失,以熱能的形式將能量釋放給離子,所以,電子的平均移動速度是漂移速度,其漂移速度的方向與電場方向相反。

電子感受到的平均電場力\mathbf{F}_{ave}為:

\mathbf{F}_{ave} = - e \mathbf{E}_{ave}

其中,\mathbf{E}_{ave}是平均電場,e是單位電荷量。

德鲁德計算出漂移速度\mathbf{v}_{d}為:

\mathbf{v}_{d} = - e \mathbf{E}_{ave}\tau/m

其中,\tau平均自由時間mean free time),是碰撞之間的平均時間間隔,m是電子的質量

在金屬裏,電荷載子為電子,所以電流密度與漂移速度的關係為:

\mathbf{J} = - ne\mathbf{v}_{d}=ne^2 \tau\mathbf{E}_{ave}/m

其中,n是電子密度。

假設電場是均勻電場,\mathbf{E} =\mathbf{E}_{ave},設定電阻率為:

\rho=\frac{m}{ne^2 \tau}

則電場與電流密度的關係為:

\mathbf{E} =\rho\mathbf{J}

注意到漂移速率v_{d}超小於熱速率v_{t}

\frac{1}{2}m v^2_{t} =\frac{3}{2}k_B T

其中,k_B波茲曼常數T溫度

因此,平均自由時間與熱速率有關,與漂移速率無關,所以平均自由時間也與電流密度、電場無關。質量、電子密度、單位電荷,都與電流密度、電場無關。總結,電阻率與電流密度、電場無關。

磁效應[编辑]

前面得到的答案只成立於導電體的參考系。在經典電磁學裏,假設處於磁場\mathbf{B}的導電體,以相對速度\mathbf{v}_0移動於磁場的參考系\mathcal{S},則電子感受到的平均勞侖茲力\mathbf{F}_{ave}為:

\mathbf{F}_{ave} = - e(\mathbf{E}_{ave}+\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_{ave})

漂移速度\mathbf{v}_{d}為:

\mathbf{v}_{d} = - e(\mathbf{E}_{ave}+\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_{ave})\tau/m

電場與電流密度的關係為:

\mathbf{J} = - ne\mathbf{v}_{d}
=ne^2\tau(\mathbf{E}_{ave}+\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_{ave})/m

所以,歐姆定律的形式推廣為:

\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B} =\rho \mathbf{J}

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

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