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欧拉方程 (流体动力学)

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本条目讨论流体动力学。对于其它意义的欧拉方程,参看欧拉方程

流體動力學中,歐拉方程是一組支配無黏性流體運動的方程,以萊昂哈德·歐拉命名。方程組各方程分別代表質量守恆(連續性)、動量守恆及能量守恆,對應零黏性及無熱傳導項的納維-斯托克斯方程。歷史上,只有連續性及動量方程是由歐拉所推導的。然而,流體動力學的文獻常把全組方程——包括能量方程——稱為“歐拉方程”[1]

跟納維-斯托克斯方程一樣,歐拉方程一般有兩種寫法:“守恆形式”及“非守恆形式”。守恆形式強調物理解釋,即方程是通過一空間中某固定體積的守恆定律;而非守恆形式則強調該體積跟流體運動時的變化狀態。

歐拉方程可被用於可壓縮性流體,同時也可被用於非壓縮性流體——這時應使用適當的狀態方程,或假設流速散度為零。

本條目假設經典力學適用;當可壓縮流的速度接近光速時,詳見相對論性歐拉方程

歷史[编辑]

第一份印有歐拉方程的出版物是歐拉的論文《流體運動的一般原理》(Principes généraux du mouvement des fluides),發表於1757年,刊載於《柏林科學院論文集》(Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin)。它們是最早被寫下來的一批偏微分方程。在歐拉發表他的研究之時,方程組只有動量方程及連續性方程,因此只能完整描述非壓縮性流體;在描述可壓縮性流體時,會因條件不足而不能提供唯一解。在1816年,皮埃爾-西蒙·拉普拉斯添加了一條方程,第三條方程後來被稱為絕熱條件

在十九世紀的後半期,科學家們發現,與能量守恆相關的方程在任何時間都得被遵守,而絕熱條件則只會在有平滑解的情況下會被遵守,因為該條件是由平滑解時的基礎定律所造成的後果。在發現了狹義相對論之後,能量密度、質量密度及應力這三個概念,被統一成應力-能量張量這一個概念;而能量及動量也同樣被統一成一個概念——能量-動量張量[2]

守恆形式(分量)[编辑]

以下是用微分形式寫成的歐拉方程:


\begin{align}
&{\partial\rho\over\partial t}+
\nabla\cdot(\rho\bold u)=0\\[1.2ex]
&{\partial\rho{\bold u}\over\partial t}+
\nabla\cdot(\bold u\otimes(\rho \bold \bold u))+\nabla p=0\\[1.2ex]
&{\partial E\over\partial t}+
\nabla\cdot(\bold u(E+p))=0,
\end{align}

其中

第二條方程包含了一并矢積散度,用下標標記(每一個j代表從1至3)表示會較易明白:


{\partial(\rho u_j)\over\partial t}+
\sum_{i=1}^3
{\partial(\rho u_i u_j)\over\partial x_i}+
{\partial p\over\partial x_j}
=0,

其中i及j下標各代表直角座標系的三個分量:( x1 , x2 , x3 ) = ( x , y , z )( u1 , u2 , u3 ) = ( u , v , w )

注意以上方程是用守恆形式的,而守恆形式強調的是方程的物理起因(因此在計算流體力學中的電腦模擬上使用這種形式最方便)。而代表動量守恆的第二條方程可用非守恆形式表示:


\rho\left(
\frac{\partial}{\partial t}+{\bold u}\cdot\nabla
\right){\bold u}+\nabla p=0

但是在這個形式上,會比較看不出歐拉方程與牛頓第二運動定律的直接關聯。

守恆形式(向量)[编辑]

以下是用向量及守恆形式寫成的歐拉方程:

 
\frac{\partial \bold m}{\partial t}+
\frac{\partial \bold f_x}{\partial x}+
\frac{\partial \bold f_y}{\partial y}+
\frac{\partial \bold f_z}{\partial z}=0,

其中


{\bold m}=\begin{pmatrix}\rho  \\  \rho u  \\  \rho v  \\ \rho w  \\E\end{pmatrix};

{\bold f_x}=\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^2\\  \rho uv \\ \rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix};\qquad
{\bold f_y}=\begin{pmatrix}\rho v\\  \rho uv \\p+\rho v^2\\ \rho vw \\v(E+p)\end{pmatrix};\qquad
{\bold f_z}=\begin{pmatrix}\rho w\\  \rho uw \\  \rho vw \\p+\rho w^2\\w(E+p)\end{pmatrix}.

在這個形式下,不難看出fxfyfz是通量。

以上方程分別代表質量守恆、動量的三個分量及能量。裏面有五條方程,六個未知數。封閉系統需要一條狀態方程;最常用的是理想氣體定律(即p = ρ (γ−1) e,其中ρ為密度,γ絕熱指數e為內能)。

注意能量方程的奇特形式;見藍金-雨果尼厄方程。附加含p的項可被詮釋成相鄰的流體元對某流體元所作的機械功。在非壓縮性流體中,這些附加項的總和為零。

流線上歐拉方程的積分,假設密度不變,及狀態方程具有足夠的剛性,可得有名的伯努利定律

非守恆形式(通量雅可比矩陣)[编辑]

在構建數值解,例如求雷曼問題近似解的時候,展開通量可以是很重要的一環。使用上面以向量表示的守恆形式方程,展開其通量可得非守恆形式如下:


\frac{\partial \bold m}{\partial t}
+ \bold A_x \frac{\partial \bold m}{\partial x} 
+ \bold A_y \frac{\partial \bold m}{\partial y} 
+ \bold A_z \frac{\partial \bold m}{\partial z} 
= 0.

其中AxAyAz為通量雅可比矩陣,各矩陣為:


  \bold A_x=\frac{\partial \bold f_x(\bold s)}{\partial \bold s}, \qquad
  \bold A_y=\frac{\partial \bold f_y(\bold s)}{\partial \bold s}, \qquad
  \bold A_z=\frac{\partial \bold f_z(\bold s)}{\partial \bold s}.

上式中這些通量雅可比矩陣AxAyAz,還是狀態向量m的函數,因此這種形式的歐拉方程跟原方程一樣,都是非線性方程。在狀態向量m平滑變動的區間內,這種非守恆形式跟原來守恆形式的歐拉方程是相同的。

理想氣體的通量雅可比矩陣[编辑]

理想氣體定律用作狀態方程,可推導出完整的雅可比矩陣形式,矩陣如下[3]

H為:


H = \frac{E}{\rho} + \frac{p}{\rho},

聲速a為:


a=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}} = \sqrt{(\gamma-1)\left[H-\frac{1}{2}\left(u^2+v^2+w^2\right)\right]}.

線性化形式[编辑]

將含通量雅可比矩陣的非守恆形式,在狀態m = m0的周圍線性化後,可得線性化歐拉方程如下:


\frac{\partial \bold m}{\partial t}
+ \bold A_{x,0} \frac{\partial \bold m}{\partial x} 
+ \bold A_{y,0} \frac{\partial \bold m}{\partial y} 
+ \bold A_{z,0} \frac{\partial \bold m}{\partial z} 
= 0,

其中Ax,0Ay,0Az,0分別為AxAyAz於某參考狀態m = m0的值。

線性化一維的非耦合波方程[编辑]

如果棄用守恆變量而改用特徵變量的話,歐拉方程可被變換成非耦合方程。舉例說,考慮以線性通量雅可比矩陣形式表示的一維(1-D)歐拉方程:


\frac{\partial \bold m}{\partial t}
+ \bold A_{x,0} \frac{\partial \bold m}{\partial x} =0.

矩陣Ax,0可被對角化,即可將其分解成:


 \mathbf{A}_{x,0} = \mathbf{P} \mathbf{\Lambda} \mathbf{P}^{-1},

\mathbf{P}= \left[\bold r_1, \bold r_2, \bold r_3\right] =\left[ 
\begin{array}{c c c}
1 & 1 & 1  \\
u-a & u & u+a \\
H-u a & \frac{1}{2} u^2 & H+u a \\
\end{array}
\right],

\mathbf{\Lambda} 
= \begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & 0  \\
0 & \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_3 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
u-a & 0 & 0  \\
0 & u & 0 \\
0 & 0 & u+a \\
\end{bmatrix}.

上式中,r1r2r3為矩陣Ax,0的右特徵向量(若A x_R = \lambda_R x_R,\ ,則x_R為右特徵向量),而λ1λ2λ3則為對應的特徵值

設特徵變量為:

\mathbf{w}= \mathbf{P}^{-1}\mathbf{m},

由於Ax,0不變,原來的一維通量雅可比矩陣方程,乘上P−1後可得:


\frac{\partial \mathbf{w}}{\partial t} + \mathbf{\Lambda} \frac{\partial \mathbf{w}}{\partial x} = 0

經過這樣的處理後,方程實際上已經被非耦合化,而且可被視作三條波方程,其中特徵值為波速。變量wi為雷曼不變量,或在一般的雙曲系統中為特徵變量。

衝擊波[编辑]

歐拉方程為非線性雙曲方程,而它們的通解為。跟大家熟悉的海浪一樣,由歐拉方程所描述的波掉後,所謂的衝擊波就會形成;這是一種非線性效應,所以其解為多值函數(即函數內的某自變量會產生多個因變量)。物理上這代表構建微分方程時所用的假設已經崩潰,如果要從方程上取得更多資訊,就必須回到更基礎的積分形式。然後,在構建弱解時,需要使用藍金-雨果尼厄衝擊波條件,在流動的物理量中避開不連續點“跳躍”,上述物理量有密度、速度、壓力及熵。物理量很少會出現不連續性;在現實的流動中,黏性會把這些不連續點平滑化。

許多領域都有研究衝擊波的傳播,尤其是出現流動處於足夠高速的領域,例如空氣動力學火箭推進

一維中的方程[编辑]

在某些問題中,特別是分析導管中的可壓縮流,或是當流動呈圓柱或球狀對稱的時候,一維歐拉方程都是很有用的近似法。一般來說,解歐拉方程會用到黎曼特徵線法。首先需要找出特徵線,這條曲線位於兩個獨立變量(即xt)所構成的平面上,在這條線上偏微分方程(PDE)會退化成常微分方程(ODE)。歐拉方程的數值解法非常倚賴特徵線法。

注釋[编辑]

  1. ^ Anderson, John D. (1995), Computational Fluid Dynamics, The Basics With Applications. ISBN 0-07-113210-4
  2. ^ Christodoulou, Demetrios. The Euler Equations of Compressible Fluid Flow. Bulletin of the American Mathematical Society. 2007-10, 44 (4): 581–602 [June 13, 2009]. doi:10.1090/S0273-0979-07-01181-0. 
  3. ^ 見Toro (1999)

資料來源及延伸閱讀[编辑]

  • Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0521663962. 
  • Thompson, Philip A. Compressible Fluid Flow. New York: McGraw-Hill. 1972. ISBN 0070644055. 
  • Toro, E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-65966-8.