欧拉角

此條目討論這詞語的數學用法．關於航空航天的用法，請參閱 Tait-Bryan angles。

萊昂哈德·歐拉

萊昂哈德·歐拉用歐拉角來描述剛體在三維歐幾里得空間的取向。對於任何參考系，一個剛體的取向，是依照順序，從這參考系，做三個歐拉角的旋轉而設定的。所以，剛體的取向可以用三個基本旋轉矩陣來決定。換句話說，任何關於剛體旋轉的旋轉矩陣是由三個基本旋轉矩陣複合而成的。

靜態的定義

三個歐拉角： ($\alpha,\ \beta,\ \gamma$) 。藍色的軸是 xyz-軸，紅色的軸是 XYZ-坐標軸。綠色的線是交點線 (N) 。

對於在三維空間裏的一個參考系，任何坐標系的取向，都可以用三個歐拉角來表現。參考系又稱為實驗室參考系，是靜止不動的。而坐標系則固定於剛體，隨著剛體的旋轉而旋轉。

參閲右圖。設定 xyz-軸為參考系的參考軸。稱 xy-平面與 XY-平面的相交為交點線，用英文字母（Ｎ）代表。 zxz 順規的歐拉角可以靜態地這樣定義:

• $\alpha$ 是 x-軸與交點線的夾角，
• $\beta$ 是 z-軸與Z-軸的夾角，
• $\gamma$ 是交點線與X-軸的夾角。

很可惜地，對於夾角的順序和標記，夾角的兩個軸的指定，並沒有任何常規。科學家對此從未達成共識。每當用到歐拉角時，我們必須明確的表示出夾角的順序，指定其參考軸。

實際上，有許多方法可以設定兩個坐標系的相對取向。歐拉角方法只是其中的一種。此外，不同的作者會用不同組合的歐拉角來描述，或用不同的名字表示同樣的歐拉角。因此，使用歐拉角前，必須先做好明確的定義。

角值範圍

• $\alpha,\ \gamma$ 值從 0 至 $2\pi$ 弧度。
• $\beta$ 值從 0 至 $\pi$ 弧度。

對應於每一個取向，設定的一組歐拉角都是獨特唯一的；除了某些例外：

• 兩組歐拉角的 $\alpha$ ，一個是 0 ，一個是 $2\pi$ ，而 $\beta$ 與 $\gamma$ 分別相等，則此兩組歐拉角都描述同樣的取向。

• 兩組歐拉角的 $\gamma$ ，一個是 0 ，一個是 $2\pi$ ，而 $\alpha$ 與 $\beta$ 分別相等，則此兩組歐拉角都描述同樣的取向。

旋轉矩陣

前面提到，設定剛體取向的旋轉矩陣 $[\mathbf{R}]$ 是由三個基本旋轉矩陣合成的：

$[\mathbf{R}] = \begin{bmatrix} \cos \gamma & \sin \gamma & 0 \\ -\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \beta & \sin \beta \\ 0 & -\sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

單獨分開作用，每個矩陣各自代表繞著其轉動軸的旋轉；但是，當它們照次序相乘，

• 最裏面的(最右的) 矩陣代表繞著 z 軸的旋轉。
• 最外面的(最左的) 矩陣代表繞著 Z 軸的旋轉。
• 在中間的矩陣代表繞著交點線的旋轉。

經過一番運算,

$[\mathbf{R}] = \begin{bmatrix} \cos\alpha\cos\gamma-\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma & \sin\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\alpha\sin\gamma & \sin\beta\sin\gamma \\-\cos\alpha\sin\gamma-\cos\beta\sin\alpha\cos\gamma & -\sin\alpha\sin\gamma+\cos\beta\cos\alpha\cos\gamma & \sin\beta\cos\gamma \\ \sin\beta\sin\alpha & -\sin\beta\cos\alpha & \cos\beta \end{bmatrix}$

$[\mathbf{R}]$ 的逆矩陣是：

$[\mathbf{R}]^{-1}= \begin{bmatrix} \cos\alpha\cos\gamma-\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma & -\cos\alpha\sin\gamma-\cos\beta\sin\alpha\cos\gamma & \sin\beta\sin\alpha \\ \sin\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\alpha\sin\gamma & -\sin\alpha\sin\gamma+\cos\beta\cos\alpha\cos\gamma & -\sin\beta\cos\alpha \\ \sin\beta\sin\gamma & \sin\beta\cos\gamma & \cos\beta \end{bmatrix}$

別種順序

在經典力學裏，時常用 zxz 順規來設定歐拉角；照著第二個轉動軸的軸名，簡稱為 x 順規。另外，還有別種歐拉角組。合法的歐拉角組中，唯一的限制是，任何兩個連續的旋轉，必須繞著不同的轉動軸旋轉。因此，一共有 12 種順規。例如，y 順規，第二個轉動軸是 y-軸，時常用在量子力學，核子物理學，粒子物理學。另外，還有一種順規，xyz 順規，是用在航空航天工程學；參閱Tait-Bryan angles。

動態的定義

我們也可以給予歐拉角兩種不同的動態定義。一種是繞著固定於剛體的坐標軸的三個旋轉的複合；另外一種是繞著實驗室參考軸的三個旋轉的複合。用動態的定義，我們能更了解，歐拉角在物理上的含義與應用。特別注意，以下的描述, XYZ 坐標軸是旋轉的剛體坐標軸；而 xyz 坐標軸是靜止不動的實驗室參考軸。

• A) 繞著 XYZ 坐標軸旋轉：最初，兩個坐標系統 xyz 與 XYZ 的坐標軸都是重疊著的。開始先繞著 Z-軸旋轉 $\alpha\,$ 角值。然後，繞著 X-軸旋轉 $\beta\,$ 角值。最後，繞著 Z-軸作角值 $\gamma\,$ 的旋轉。

• B) 繞著 xyz 坐標軸旋轉：最初，兩個坐標系統 xyz 與 XYZ 的坐標軸都是重疊著的。開始先繞著 z-軸旋轉 $\gamma\,$ 角值。然後，繞著 x-軸旋轉 $\beta\,$ 角值。最後，繞著 z-軸作角值 $\alpha\,$ 的旋轉。

參閱歐拉角圖，定義 A 與靜態定義的相等，這可以直接用幾何製圖方法來核對。

定義 A 與定義 B 的相等可以用旋轉矩陣來證明：

思考任何一點 $P_1\,$ ，在 xyz 與 XYZ 坐標系統的坐標分別為 $\mathbf{r}_1\,$ 與 $\mathbf{R}_1\,$ 。定義角算符 $Z(\alpha)\,$ 為繞著 Z-軸旋轉 $\alpha\,$ 角值。那麼，定義 A 可以表述如下:

$\mathbf{R}_1=Z(\gamma)\circ X(\beta)\circ Z(\alpha)\circ \mathbf{r}_1\,$ 。

用旋轉矩陣表示,

$Z(\alpha)= \begin{bmatrix}\cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\,$ ，

$X(\beta)=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \beta & \sin \beta \\0 & -\sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix} \,$ ，

$Z(\gamma)=\begin{bmatrix}\cos \gamma & \sin \gamma & 0 \\ -\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\,$ 。

思考任何一點 $P_2\,$ ，在 xyz 與 XYZ 坐標系統的坐標分別為 $\mathbf{r}_2\,$ 與 $\mathbf{R}_2\,$ 。定義角算符 $z(\alpha)\,$ 為繞著 z-軸旋轉 $\alpha\,$ 角值。則定義 B 可以表述如下:

$\mathbf{r}_2=z(\alpha)\circ x(\beta)\circ z(\gamma)\circ \mathbf{R}_2\,$ 。

用旋轉矩陣表示,

$z(\alpha)= \begin{bmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\,$ ，

$x(\beta)=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \beta & -\sin \beta \\0 & \sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix} \,$ ，

$z(\gamma)=\begin{bmatrix}\cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\,$ 。

假設， $\mathbf{r}_1=\mathbf{r}_2\,$ ．那麼，

$\mathbf{r}_1=z(\alpha)\circ x(\beta)\circ z(\gamma)\circ \mathbf{R}_2\,$ 。

乘以逆算符，

$z^{-1}(\gamma)\circ x^{-1}(\beta)\circ z^{-1}(\alpha)\circ \mathbf{r}_1=z^{-1}(\gamma)\circ x^{-1}(\beta)\circ z^{-1}(\alpha)\circ z(\alpha)\circ x(\beta)\circ z(\gamma)\circ \mathbf{R}_2\,$ 。

但是，從旋轉矩陣可以觀察出，

$z^{-1}(\alpha)=Z(\alpha)\,$ ，

$x^{-1}(\beta)=X(\beta)\,$ ，

$z^{-1}(\gamma)=Z(\gamma)\,$ 。

所以，

$Z(\gamma)\circ X(\beta)\circ Z(\alpha)\circ \mathbf{r}_1=\mathbf{R}_2\,$ ，

$\mathbf{R}_1=\mathbf{R}_2\,$ 。

定義 A 與定義 B 是相等的。

歐拉角性質

歐拉角在SO(3)上，形成了一個坐標卡 (chart) ；SO(3)是在三維空間裏的旋轉的特殊正交群。這坐標卡是平滑的，除了一個極坐標式的奇點在 $\beta=0$　。

類似的三個角的分解也可以應用到SU(2)；複數二維空間裏旋轉的特殊酉群；這裏，$\beta$ 值在 ０ 與 $2\pi$ 之間。這些角也稱為歐拉角。

應用

歐拉角廣泛地被應用於經典力學中的剛體研究，與量子力學中的角動量研究。

在剛體的問題上, xyz 坐標系是全局坐標系， XYZ 坐標系是局部坐標系。全局坐標系是不動的；而局部坐標系牢嵌於剛體內。關於動能的演算，通常用局部坐標系比較簡易；因為，慣性張量不隨時間而改變。如果將慣性張量（有九個分量，其中六個是獨立的）對角線化，那麼，會得到一組主軸，以及一個轉動慣量（只有三個分量）。

在量子力學裏， 詳盡的描述SO(3)的形式，對於精準的演算，是非常重要的， 並且幾乎所有研究都採用歐拉角為工具。在早期的量子力學研究，對於抽象群理論方法(稱為Gruppenpest)， 物理學家與化學家仍舊持有極尖銳的反對態度的時候；對歐拉角的信賴，在基本理論研究來說，是必要的。

歐拉角的哈爾測度有一個簡單的形式 $\sin\beta\ d\alpha d\beta d\gamma$ 通常在前面添上歸一化因子 $1/8\pi^2$ 。例如，我們要生成均勻隨機取向，使 $\alpha, \ \gamma$ 從 $0$ 至 $2\pi$ 均勻的選隨機值；使 $\beta=\arccos(z)$ ， $z$ 從 $-1$ 至 $1$ 均勻的選隨機值。

單位四元數，又稱歐拉參數，提供另外一種方法來表述三維旋轉。這與特殊酉群的描述是等價的。四元數方法用在大多數的演算會比較快捷，概念上比較容易理解，並能避免一些技術上的問題，如萬向節鎖 (gimbal lock) 現象。因為這些原因，許多高速度三維圖形程式製作都使用四元數。

參閱

• 歐拉運動定律
• 歐拉旋轉定理
• 旋轉矩陣
• 四元數
• 軸角
• 球坐標系

參考文獻

• L. C. Biedenharn, J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1981.
• Herbert Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1980.
• Andrew Gray, A Treatise on Gyrostatics and Rotational Motion, MacMillan, London, 1918.
• M. E. Rose, Elementary Theory of Angular Momentum, John Wiley, New York, NY, 1957.
• Symon, Keith. Mechanics. Addison-Wesley, Reading, MA. 1971. ISBN 0-201-07392-7. 
• Landau, L.D.; Lifshitz, E.M.. Mechanics. Butterworth-Heinemann. 1997. ISBN 0-750-62896-0. 

外部鏈結

• MathWorld 關於各種歐拉角常規的詳細討論