欧拉-马歇罗尼常数

欧拉-马歇罗尼常数是一个数学常数，定义为调和级数与自然对数的差值：

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left[ \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) - \ln(n) \right]=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor} - {1\over x}\right)\,dx$

它的近似值为$\gamma \approx 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335$，

欧拉-马歇罗尼常数主要应用于数论。

历史

该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1735年发表的文章De Progressionibus harmonicus observationes中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni）引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。

目前尚不知道该常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10²⁴²⁰⁸⁰(Havil,p. 97)

性质

与伽玛函数的关系

$\ -\gamma = \Gamma'(1) = \Psi(1)$。

$\gamma = \lim_{x \to \infty} \left [ x - \Gamma \left ( \frac{1}{x} \right ) \right ]$。

$\gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+\frac{1}{n}}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ]$。

与ζ函数的关系

$\gamma = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m\zeta(m)}{m}$

$= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} \zeta(m+1)}{2^m (m+1)}$。

$\gamma = \frac{3}{2} - \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m) - 1]$

$= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ]$。

$= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln 2+ O \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ]$

$\gamma = \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s} - \frac{1}{s^n} \right ) = \lim_{s \to 1^+} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s - 1} \right )$

$\gamma = \lim_{x \to \infty} \left [ x - \Gamma \left ( \frac{1}{x} \right ) \right ]$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^n \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right )$。

$\gamma = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) - \sum_{m=2}^\infty \frac{\zeta (m,n+1)}{m}$

积分

$\gamma = - \int_0^\infty { e^{-x} \ln x }\,dx$

$= - \int_0^1 { \ln\ln \frac{1}{x} }\,dx$

$= \int_0^\infty {\left (\frac{1}{1 - e^{-x}} - \frac{1}{x} \right )e^{ - x} }\,dx$

$= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x} - e^{ - x} \right ) }\,dx$。

$\int_0^\infty { e^{-x^2} \ln x }\,dx = -\tfrac14(\gamma+2 \ln 2) \sqrt{\pi}$

$\int_0^\infty { e^{-x} \ln^2 x }\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}$。

$\gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x - 1}{(1 - x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n} - \ln\frac{n+1}{n} \right ).$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) + N_0(n)}{2n(2n+1)} = \gamma$

级数展开式

$\gamma = \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{1}{k} - \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \right]$。

$\gamma = 1 - \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\lfloor\log_2 k\rfloor}{k+1}$.

$\gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{ \left \lfloor \log_2 k \right \rfloor}{k} = \tfrac12-\tfrac13 + 2\left(\tfrac14 - \tfrac15 + \tfrac16 - \tfrac17\right) + 3\left(\tfrac18 - \dots - \tfrac1{15}\right) + \dots$

$\gamma + \zeta(2) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac1{k\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2} = 1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14\left(\tfrac14 + \dots + \tfrac18\right) + \tfrac19\left(\tfrac19 + \dots + \tfrac1{15}\right) + \dots$

$\gamma = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k - \lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}{k^2\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2} = \tfrac1{2^2} + \tfrac2{3^2} + \tfrac1{2^2}\left(\tfrac1{5^2} + \tfrac2{6^2} + \tfrac3{7^2} + \tfrac4{8^2}\right) + \tfrac1{3^2}\left(\tfrac1{10^2} + \dots + \tfrac6{15^2}\right) + \dots$

$\gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx$。

$\gamma$的连分数展开式为：

$\gamma = [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...]\,$ （OEIS中的数列A002852）.

渐近展开式

$\gamma \sim H_n - \ln \left( n \right) - \frac{1}{{2n}} + \frac{1}{{12n^2 }} - \frac{1}{{120n^4 }} + .$。

$\gamma \sim H_n - \ln \left( {n + \frac{1}{2} + \frac{1}{{24n}} - \frac{1}{{48n^3 }} + ...} \right)$

$\gamma \sim H_n - \frac{{\ln \left( n \right) + \ln \left( {n + 1} \right)}}{2} - \frac{1}{{6n\left( {n + 1} \right)}} + \frac{1}{{30n^2 \left( {n + 1} \right)^2 }} - .$。

已知位数

$\boldsymbol{\gamma}$的已知位数

日期	位数	计算者
1734年	5	莱昂哈德·欧拉
1736年	15	莱昂哈德·欧拉
1790年	19	Lorenzo Mascheroni
1809年	24	Johann G. von Soldner
1812年	40	F.B.G. Nicolai
1861年	41	Oettinger
1869年	59	William Shanks
1871年	110	William Shanks
1878年	263	约翰·柯西·亚当斯
1962年	1,271	高德纳
1962年	3,566	D.W. Sweeney
1977年	20,700	Richard P. Brent
1980年	30,100	Richard P. Brent和埃德温·麦克米伦
1993年	172,000	Jonathan Borwein
1997年	1,000,000	Thomas Papanikolaou
1998年12月	7,286,255	Xavier Gourdon
1999年10月	108,000,000	Xavier Gourdon和Patrick Demichel
2006年7月16日	2,000,000,000	Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2006年12月8日	116,580,041	Alexander J. Yee
2007年7月15日	5,000,000,000	Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2008年1月1日	1,001,262,777	Richard B. Kreckel
2008年1月3日	131,151,000	Nicholas D. Farrer
2008年6月30日	10,000,000,000	Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2009年1月18日	14,922,244,771	Alexander J. Yee和Raymond Chan
2009年3月13日	29,844,489,545	Alexander J. Yee和Raymond Chan