歐拉函數 (複變函數)

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複數平面上歐拉函數φ的絕對值,黑色部份的值為0,紅黑色部份的值為4

數學上,歐拉函數的定義如下

\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)

此函數得名由萊昂哈德·歐拉。歐拉函數是典型的q級數q-series)及模形式函數,也是描述组合数学複分析之間關係的典型範例。

性質[编辑]

歐拉函數的的倒數1/\phi(q)展開成形式幂級數,其對應的係數p(k)恰好是k的分割函數,亦即

\frac{1}{\phi(q)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) q^k

其中p(k)為k的分割函數

五邊形數定理是一個有關歐拉函數的恆等式,其定理如下:

\phi(q)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}.

其中(3n^2-n)/2廣義五邊形數

拉馬努金恆等式(Ramanujan identity),歐拉函數和戴德金η函數有以下的關係:

\phi(q)= q^{-\frac{1}{24}} \eta(\tau)

其中q=e^{2\pi i\tau}nomenome)的平方。

上述二個函數都有模羣modular group)下的對稱性。

參照[编辑]

參考資料[编辑]