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歐拉旋轉定理

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運動學裏,歐拉旋轉定理(Euler's rotation theorem)表明,在三維空間裏,假設一個剛體在做一個位移的時候,剛體內部至少有一點固定不動,則此位移等價於一個繞著包含那固定點的固定軸的旋轉。這定理是以瑞士數學家萊昂哈德·歐拉命名。於1775年,歐拉使用簡單的幾何論述證明了這定理。

數學術語,在三維空間內,任何共原點的兩個座標系之間的關係,是一個繞著包含原點的固定軸的旋轉。這也意味著,兩個旋轉矩陣的乘積還是旋轉矩陣。一個不是單位矩陣旋轉矩陣必有一個實值本徵值,而這本徵值是 1 。 對應於這本徵值的本徵向量就是旋轉所環繞的固定軸[1]

應用[编辑]

旋轉生成元[编辑]

主要項目:旋轉矩陣旋轉群

假設單位向量 (x,\ y,\ z)\,\! 是旋轉的瞬時固定軸,繞著這固定軸,旋轉微小角值 \Delta\theta\,\! ,則取至 \Delta\theta\,\! 的一次方,旋轉矩陣可以表達為:

\Delta R =
  \begin{bmatrix}
  1&0&0\\
  0&1&0\\
  0&0&1
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
  0 & z&-y\\
  -z& 0& x\\
  y &-x& 0
  \end{bmatrix}\,\Delta \theta
= \mathbf{I}+\mathbf{A}\,\Delta \theta\,\!

繞著固定軸做一個 \theta\,\! 角值的旋轉,可以被視為許多繞著同樣固定軸的接連不斷的微小旋轉,每一個小旋轉的角值為 \Delta\theta=\theta / N\,\! 。讓 N\,\! 趨向無窮大,則繞著固定軸 \theta\,\! 角值的旋轉,可以表達為

R =\lim_{N \to \infty}\ \left(\mathbf{1} +\frac{\mathbf{A}\theta}{N}\right)^N=e^{\mathbf{A}\theta}\,\!

歐拉旋轉定理基要地闡明,所有的旋轉都能以這形式來表達。乘積 \mathbf{A}\theta\,\! 是這個旋轉的生成元。用生成元來分析,而不用整個旋轉矩陣,通常是較簡易的方法。用生成元來分析的學術領域,稱為旋轉群的李代數

四元數[编辑]

根據歐拉旋轉定理,任何兩個座標系的相對定向,可以由一組四個數字來設定;其中三個數字是方向餘弦,用來設定特徵向量(固定軸);第四個數字是繞著固定軸旋轉的角值。這樣四個數字的一組稱為四元數

如上所描述的四元數,並不介入複數。如果四元數被用來描述二個連續的旋轉,則必須使用由威廉·哈密顿提出的非交換四元數代數以複數來計算。

在航空學應用方面,通過四元數方法來計算旋轉,已經替代了方向餘弦方法,這是因為它能減少所需的工作,和它能減小捨入誤差。在 電腦圖形學 裏,四元數與四元數之間,簡易執行插值的能力是很有價值的。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 155–161. ISBN 0201657023 (English).