歐拉線

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欧拉线

平面几何中,欧拉线(图中的红线)是指过三角形垂心(蓝)、外心(绿)、重心(黄)和九点圆圆心(红点)的一条直线莱昂哈德·欧拉证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。注意內心一般不在歐拉線上,除了等腰三角形外。

证明[编辑]

Euler Line1.PNG

如图,H,G,O分别是{\triangle}ABC的垂心,重心,外心,

连结AH,{\triangle}ABC的外接圆直径BOD,

再连DC,DA,DC{\perp}BC,DA{\perp}AB.

{\because\quad}H{\triangle}ABC的垂心,

{\therefore\quad}AH{\perp}BC,\;CH \perp AB,.

由①,\;③可知,

DC // AH,

由②,\;④可知,

DA // CH,

{\therefore\quad}ADCH为平行四边形,

\therefore{\quad}AH=DC.

{\because\quad}O,\;M分别是BD,\;CB的中点,

{\therefore\quad}DC=2OM,

{\therefore\quad}AH=2OM.

BC边上的中线AM,连结OM,\;OH.

OHAM于点G'.

{\because\quad}OM{\perp}BC,\;{\triangle}AHG'{\sim\triangle}MOG',\;AH=DC=2OM,

{\therefore\quad}AG'=2G'M,

{\therefore\quad}G'\triangle ABC的重心G.

\therefore\quad\triangle ABC的垂心H,重心G,外心O三点共线,直线HGO即欧拉线.

推论[编辑]

九点圆的圆心也在欧拉线上,且在垂心到外心的线段的中点

Triangle cercle eulerA.JPG

如图,H、G、Ω分别是△ABC的垂心、重心、外心,三角形的三边中点Ii,三高的垂足Hi,和顶点到垂心的三条线段的中点Ji

令HΩ和J1I1的交点为K,∵BΩ=CΩ,BI1=CI1,∴ΩI1⊥BC,又∵AH1⊥BC,∴ΩI1∥AH1

∵∠GΩI1=∠AHG,∠GAH=∠GI1Ω,∴△AGH∽△GΩI1。∵AG=2GI1,∴AH=2ΩI1,即ΩI1=J1H。

∵ΩI1∥AH1, J1H=ΩI1 ∴J1K=KI1, HK = KΩ。

同理J2K=KI2, J3K=KI3。 可知K为九点圆圆心。

∵点K在HΩ上,HK = KΩ

∴九点圆圆心在欧拉线上,且在垂心到外心的线段的中点。

参考资料[编辑]

  1. 数学题解辞典·平面几何. 上海辞书出版社. 

外部链接[编辑]