歐拉-拉格朗日方程

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歐拉-拉格朗日方程(Euler-Lagrange equation)為變分法中的一條重要方程。它提供了求泛函的臨界值(平穩值)函數,也就是此泛函的臨界點的一個方法。

第一方程[编辑]

f=f(x,\ y,\ z),以及f_y,\ f_z[a,\ b]\times\mathbb{R}^2中連續,並設泛函

J(y)=\int_a^b f(x, y(x), y'(x))dx

y\in C^1[a,\ b]使得泛函J(y)取得局部平穩值,則對於所有的x\in(a,\ b)

\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}f(x, y, y')=\frac{\partial}{\partial y}f(x, y, y')

推廣到多維的情況,記

\vec{y}(x)=(y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x))
\vec{y}'(x)=(y'_1(x), y'_2(x), \ldots, y'_n(x))
 f(x, \vec{y}, \vec{y}')=f(x, y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x), y'_1(x), y'_2(x), \ldots, y'_n(x))

\vec{y}'(x)\in(C^1[a, b])^n使得泛函 J(\vec{y})=\int_a^bf(x, \vec{y}, \vec{y}')dx取得局部平穩值,則在區間(a,\ b)內對於所有的 i=1,\ 2,\ \ldots,\ n,皆有

 \frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')=\frac{\partial}{\partial y_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')

第二方程[编辑]

f=f(x,\ y,\ z),及f_y,\ f_z[a,\ b]\times\mathbb{R}^2中連續,若y\in C^1[a,\ b]使得泛函J(y)=\int_a^b f(x, y(x), y'(x))dx取得局部平穩值,則存在一常數C,使得

f(x, y, y')-y'(x)f_{y\,'}(x, y, y')=\int_a^x f_x(x(t), y(t), y'(t))dt+C

例子[编辑]

(0,\ 0)(a,\ b)為直角坐標上的兩個固定點,欲求連接兩點之間的最短曲線。設(x(t),\ y(t)) (t\in[0,\ 1]),並且

(x(0),\ y(0))=(0,\ 0),\ (x(1),\ y(1))=(a,\ b)

這裏,(x(t),\ y(t))\in C^1[0,\ 1]為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為

L(y)=\int_0^1\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt

現設

\vec{y}(t)=(x(t),\ y(t))
f(t,\ \vec{y}(t),\ \vec{y}'(t))=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}

取偏微分,則

f_{x'}=\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}
f_{y'}=\frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}
f_x=f_y=0

y使得L(y)取得局部平穩值,則y符合第一方程:

\frac{d}{dt}f_{x'}(t, y, y')=f_x(t, y, y')=0
\frac{d}{dt}f_{y'}(t, y, y')=f_y(t, y, y')=0

因此,

\frac{d}{dt}\frac{x'}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}=0
\frac{d}{dt}\frac{y'}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}=0

t積分,

\frac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}=C_0
\frac{y'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}=C_1

這裏,C_0,\ C_1為常數。重新編排,

x'=\sqrt{\frac{C_0^2}{1-C_0^2}}=r
y'=\sqrt{\frac{C_1^2}{1-C_1^2}}=s

再積分,

x(t)=rt+r'
y(t)=st+s'

代入初始條件

(x(0),\ y(0))=(0,\ 0)
(x(1),\ y(1))=(a,\ b)

即可解得(x(t),\ y(t))=(at,\ bt),是連接兩點的一條線段。

另經過其他的分析,可知此解為唯一解,並且該解使得L(y)取得極小值,所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。

參閱[编辑]

參考書籍[编辑]

  • Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.