正三角形鑲嵌

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正三角形鑲嵌
正三角形鑲嵌
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類別 正鑲嵌
頂點圖英语Vertex figure 3.3.3.3.3.3(或36
頂點佈局 36
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png = CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel split1.pngCDel branch hh.png
施萊夫利符號 {3,6}
{3[3]}
威佐夫符號英语Wythoff symbol 6 | 3 2
3 | 3 3
| 3 3 3
康威表示法 dH
對稱群 p6m, [6,3], (*632)
p3m1, [3[3]], (*333)
p3, [3[3]]+, (333)
對偶 正六邊形鑲嵌
Rotation group p6, [6,3]+, (632)
p3, [3[3]]+, (333)
Triangular tiling vertfig.png
3.3.3.3.3.3(或36
(頂點圖)
Uniform tiling 63-t0.png
正六邊形鑲嵌
(對偶多面體)

幾何學中,正三角形鑲嵌、又稱為正三角方格[1]是一種正多邊形平面上的密鋪,又稱正鑲嵌圖

由於正三角形鑲嵌是由正三角形組成,又因正三角形內角60,因此每個頂點周圍都有6三角形,且剛好占滿360

正三角形鑲嵌施萊夫利符號中,用{3,6}表示。

康威稱正三角形鑲嵌為deltille。 deltille一詞來自於外形為三角形希臘字母 Delta (Δ),有時也稱作六角化正六邊形鑲嵌

正三角形鑲嵌是三個的平面正鑲嵌圖之一。另外兩個是正方形鑲嵌正六邊形鑲嵌

一般將畫在紙上的正三角方格稱作正三角格紙[1],正三角格紙是用來畫三維立體圖或三維透視圖用的。使用正三角格紙作圖會比較容易做出三維立體圖或三維透視圖,而且圖形看起來比較接近三維[1]

上色的正三角形鑲嵌[编辑]

正三角形鑲嵌有九種不同的上色方式,他們依頂點周為顏色數來命名: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314。

上色
索引
111111 121212 121314 121213
上色 Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 333-t1.png Uniform tiling 333-snub.png Uniform tiling 63-h12.png
對稱群 *632
(p6m)
[6,3]
*333
(p3m1)
[3[3]] = [1+,6,3]
333
(p3)
[3[3]]+
3*3
(p31m)
[6,3+]
Wythoff符号英语Wythoff symbol 6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin Diagram CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png = CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel split1.pngCDel branch hh.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
上色
索引
111222 112122 111112 111212 111213
上色 Uniform triangular tiling 111222.png Uniform triangular tiling 112122.png Uniform triangular tiling 111112.png Uniform triangular tiling 111212.png Uniform triangular tiling 111213.png
對稱群 2*22
(cmm)
[∞,2+,∞]
2222
(p2)
[∞,2,∞]+
*333
(p3m1)
[3[3]]
*333
(p3m1)
[3[3]]
333
(p3)
[3[3]]+

A2晶格和圆堆砌[编辑]

正三角形镶嵌的顶点排布被称作A2晶格[2]。正三角形镶嵌是单纯形堆砌英语Simplectic honeycomb家族的二维成员。

A2*晶格(又称A23),可由所有3种A2晶格组合得来,就等价于A2晶格。

CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png + CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch 10lu.png + CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch 01ld.png = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png 的对偶 = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png

以正三角形镶嵌的顶点为圆心,我们可以得到二维的最密圆堆砌英语Circle Packing,每个圆都与6个相邻圆接触(接触数英语kissing number),堆砌密度为\frac{\pi}{\sqrt{12}}或90.69%。由于3个A2晶格组合还是A2晶格,这种圆堆砌种的圆可被涂成三种颜色。

A2晶格的沃罗诺伊图正六边形镶嵌,它也是正三角形镶嵌的对偶。因此,正六边形镶嵌也与最密圆堆砌有直接的对应关系。

A2晶格圆堆砌 A*
2
晶格圆堆砌
Triangular tiling circle packing.png Triangular tiling circle packing3.png
正六边形镶嵌
Uniform tiling 63-t0.png Uniform tiling 333-t012.png


相關半正鑲嵌[编辑]

正三角形镶嵌家族的半正镶嵌
对称性: [6,3], (*632) [6,3]+, (632) [1+,6,3], (*333) [6,3+], (3*3)
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform tiling 63-t0.png Uniform tiling 63-t01.png Uniform tiling 63-t1.png Uniform tiling 63-t12.png Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 63-t02.png Uniform tiling 63-t012.png Uniform tiling 63-snub.png Uniform tiling 333-t1.png Uniform tiling 63-h12.png
{6,3} t0,1{6,3} t1{6,3} t1,2{6,3} t2{6,3} t0,2{6,3} t0,1,2{6,3} s{6,3} h{6,3} h1,2{6,3}
半正对偶
CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 6.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Uniform tiling 63-t2.png Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg Rhombic star tiling.png Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 63-t0.png Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg Uniform tiling 63-t0.png
V6.6.6 V3.12.12 V3.6.3.6 V6.6.6 V3.3.3.3.3.3 V3.4.12.4 V.4.6.12 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.3.3

从六邊形鑲嵌可利用“交错英语Alternation (Geometry)”操作將六邊形鑲嵌變成三角形鑲嵌。

交錯2n邊形鑲嵌系列:
球面鑲嵌 多面體 歐式鑲嵌 緊湊雙曲鑲嵌 仿緊空間 非緊空間
n 1 2 3 4 5 6
2n邊形鑲嵌 {2,3} {4,3} {6,3} {8,3} {10,3} {12,3} {∞,3} {iπ/λ,3}
交錯2n邊形鑲嵌 Trigonal dihedron.png
h{2,3}
CDel node h1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 3-2-3-2-3-2.png
h{4,3}
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling h(6-6-6) 3-3-3-3-3-3.png
h{6,3}
CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 433-t0.png
h{8,3}
CDel node h1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 335-1.png
h{10,3}
CDel node h1.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 336-1.png
h{12,3}
CDel node h1.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
... H2 tiling 33i-1.png
h{∞,3}
CDel node h1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
正0邊形.png
h{iπ/λ,3}
CDel node h1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

參考文獻[编辑]