正五胞体

正五胞体 （5-胞） 4-体
Schlegel diagram
類型	正多胞体
家族	单纯形
維度	4
胞	5 (3.3.3)
面	10 {3}
邊	10
頂點	5
顶点图	(3.3.3)
施萊夫利符號	{3,3,3}
考克斯特符号
類比	正四面體
convex	isogonal, isotoxal, isohedral
對稱群	A4, [3,3,3]
對偶多胞體	正五胞体
特性	凸

正五胞体是一种四维凸正多胞体，其展开为五个正四面体。正五胞体的投影的形状可以想象成一个双正三棱锥的两顶点再加一条连线,或者是一个正四面体的四顶点连线至中心，在这里，正五胞体作为正的正四面体面锥出现的。正五胞体有四个交面（等边三角形），十条棱和五个顶点。正五胞体是最简单的四维正多胞体（如同三角形是最简单的多边形）。

几何性质

正五胞体作为一个单纯形，是自身对偶的。当它穿过三维空间时其截体积最大时，其截体是一个半正的正三棱柱。它的二胞角度数是cos^-1(1/4)，约等于75.52°。对于一个边长为a的正五胞体，其超体积是$\cfrac{\sqrt{5}a^4}{96}$,表体积是$\cfrac{5a^3}{6\sqrt{2}}$。

顶点坐标

对于一个边长为2，中心在四维直角坐标系原点上的正五胞体，它的5个顶点坐标分别是

$\left( \frac{1}{\sqrt{10}},\ \frac{1}{\sqrt{6}},\ \frac{1}{\sqrt{3}},\ \pm1\right)$

$\left( \frac{1}{\sqrt{10}},\ \frac{1}{\sqrt{6}},\ \frac{-2}{\sqrt{3}},\ 0 \right)$

$\left( \frac{1}{\sqrt{10}},\ -\sqrt{\frac{3}{2}},\ 0,\ 0 \right)$

$\left( -2\sqrt{\frac{2}{5}},\ 0,\ 0,\ 0 \right)$

如果把正五胞体作为一个五维直角坐标系中的四维平面，则它的顶点坐标会简单得多，为(0,0,0,0,1)或(0,1,1,1,1)的全排列（其中正五胞体棱长为$\sqrt{2}$），分别对应五维正轴形（正三十二超胞体）或五维半正方体。

对称群结构

正五胞体属于四维单纯形，它有着A₄对称结构，对应施莱夫利符号{3,3,3}，考斯特符号。

可视化

正五胞体的三维投影视图
球极投影	旋转着的透视投影

Ak 考克斯特平面	A4	A3	A2
图像
二面体群	[5]	[4]	[3]

四维正多胞体
正五胞体	超正方体	正十六胞体	正二十四胞体	正一百二十胞体	正六百胞体
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}