正五胞体

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正五胞体
(5-胞)
4-体
Schlegel wireframe 5-cell.png
Schlegel diagram
類型 正多胞体
家族 单纯形
維度 4
5 (3.3.3) 3-simplex t0.svg
10 {3} 2-simplex t0.svg
10
頂點 5
顶点图 5-cell verf.png
(3.3.3)
施萊夫利符號 {3,3,3}
考克斯特符号 CDW ring.pngCDW 3.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW dot.png
類比 正四面體
convex isogonal, isotoxal, isohedral
對稱群 A4, [3,3,3]
對偶多胞體 正五胞体
特性

正五胞体是一种四维凸正多胞体,其展开为五个正四面体。正五胞体的投影的形状可以想象成一个双正三棱锥的两顶点再加一条连线,或者是一个正四面体的四顶点连线至中心,在这里,正五胞体作为正的正四面体面锥出现的。正五胞体有四个交面(等边三角形),十条棱和五个顶点。正五胞体是最简单的四维正多胞体(如同三角形是最简单的多边形)。
正五胞体是四维的正单纯形,这是一系列具有相同性质的多胞形的总称,这一家族的特性在正五胞体上也体现出来了。五胞体是四维最简单的多胞体,任何顶点数、棱数、面数、胞数比它小的多胞体都只能成为退化多胞体(即它们并不真正具有真实的、非零的超体积)。正五胞体的顶点排布是让五个点在四维空间中两两间距离都相等的唯一方案。正五胞体同其它面为正三角形的多胞形一样,具有稳定性,即如果正五胞体10条棱长都确定了,则正五胞体就被唯一确定了。

几何性质[编辑]

正五胞体作为一个单纯形,是自身对偶的。当它穿过三维空间时其截体积最大时,其截体是一个半正正三棱柱。它的二胞角度数是cos-1(1/4),约等于75.52°。对于一个边长为a的正五胞体,其超体积是\cfrac{\sqrt{5}a^4}{96},表体积是\cfrac{5\sqrt{2}a^3}{12}

若一个正五胞体的棱长为1,则其外接超球的半径为\frac{\sqrt{10}}{5} \approx0.632455532,外中交超球(经过正五胞体各棱中点的三维超球)半径为\frac{\sqrt{15}}{10} \approx0.3872983346,内中交超球(经过正五胞体各面中心的三维超球)半径为\frac{\sqrt{15}}{15} \approx0.2581988897,内切超球半径为\frac{\sqrt{10}}{20} \approx0.158113883

顶点坐标[编辑]

对于一个边长为2,中心在四维直角坐标系原点上的正五胞体,它的5个顶点坐标分别是

\left( \frac{1}{\sqrt{10}},\  \frac{1}{\sqrt{6}},\  \frac{1}{\sqrt{3}},\  \pm1\right)
\left( \frac{1}{\sqrt{10}},\  \frac{1}{\sqrt{6}},\  \frac{-2}{\sqrt{3}},\ 0   \right)
\left( \frac{1}{\sqrt{10}},\  -\sqrt{\frac{3}{2}},\ 0,\                   0   \right)
\left( -2\sqrt{\frac{2}{5}},\ 0,\                   0,\                   0   \right)

如果把正五胞体作为一个五维直角坐标系中的四维平面,则它的顶点坐标会简单得多,为(0,0,0,0,1)或(0,1,1,1,1)的全排列(其中正五胞体棱长为\sqrt{2}),分别对应五维正轴形(正三十二超胞体)或五维半正方体

对称群结构[编辑]

正五胞体属于四维单纯形,它有着A4对称结构,对应施莱夫利符号{3,3,3},考斯特符号CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png,该群的群阶为120。

可视化[编辑]

二维线架正交投影
Ak
考克斯特平面
A4 A3 A2
图像 4-simplex t0.svg 4-simplex t0 A3.svg 4-simplex t0 A2.svg
二面体群 [5] [4] [3]
三维投影
Stereographic polytope 5cell.png
线架球极投影(棱先被投影到了3-球面上)
5-cell.gif
正五胞体作单旋转英语SO(4)#Geometry of 4D rotations的透视投影
Pentatope-vertex-first-small.png
正五胞体正对着顶点的三维投影有正四面体形的凸包。最靠近投影中心的顶点被投影到了正四面体的中心(加红的点)。最远的胞被投影到了正四面体凸包本身,而其它4个胞则被投影成了一层4个环绕着中心顶点的扁平的四面体。
5cell-edge-first-small.png
正五胞体正对着棱的三维投影有一个三角双锥凸包。最近的棱(红色)被投影成了三角双锥的对角线,被三个被投影成二面体锲形体的正四面体胞环绕着。剩下的两个位于正五胞体远端的胞被投影成了三角双锥的两半。
5cell-face-first-small.png
正五胞体正对着面的三维投影有着三角双锥的凸包。最靠近投影中心的面被涂成了红色。相交于这个面的两个胞被投影成了三角双锥的两半。剩余的处在正五胞体远端的3个胞在图中没有显示出来。它们就像正对棱的投影中一样,环绕在双锥的对称轴周围。
5cell-cell-first-small.png
正五胞体正对着胞的三维投影有着正四面体胞,最近的胞被投影成了凸包本身,并且,处于远端的4个胞没有在这里显示。

参考[编辑]

Regular Convex Four-Dimensional Polytopes by David Fontaine,提供了部分关于正五胞体的几何数据。

四维正多胞体
正五胞体 超正方体 正十六胞体 正二十四胞体 正一百二十胞体 正六百胞体
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}