正交

正交是线性代数的概念，是直觀概念中垂直的推廣。作為一個形容詞，只有在一個確定的內積空間中才有意義。若內積空間中兩向量的內積為0，則稱它們是正交的。如果能夠定義向量間的夾角，則正交可以直觀的理解為垂直。物理中：運動的獨立性，也可以用正交來解釋。

各种正交概念

正交子空间

若内积空间中两向量的内积为0，则它们正交。类似地，若内积空间中的向量v与子空间A中的每个向量都正交，那么这个向量和子空间A正交。若内积空间的子空间A和B满足一者中的每个向量都与另一者正交，那么它们互为正交子空间。

正交变换

正交变换$T : V \rightarrow V$是保持内积的线性变换。即是说，对两个向量，它们的内积等于它们在函数T下的内积：

$\langle Tx, Ty \rangle = \langle x, y \rangle.$

这也就是说，正交变换保持向量的长度不变，也保持两个向量之间的角度不变。

欧几里得空间的例子

在二维或三维的欧几里得空间中，两个向量正交当且仅当他们的点积为零，即它们成90°角。可以看出正交的概念正是在此基础上推广而来的。三维空间中，一条直线的正交子空间是一个平面，反之亦然。四维空间中，一条直线的正交子空间则是一个超平面。

正交函数集

对于两个函数f 和g，可以定义如下的内积：

$\langle f, g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx.$

这里引进一个非负的权函数$w(x)$。这个内积叫做带权$w(x)$的内积。

两个函数带权$w(x)$正交，是指它们带权$w(x)$的内积为零。

$\int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx = 0.$

由此可以类似定义带权$w(x)$的模型。

$||f||_w = \sqrt{\langle f, f\rangle_w}$

一个函数列{ f_i : i = 1, 2, 3, ... }如果满足：

$\langle f_i, f_j \rangle=\int_{-\infty}^\infty f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=||f_i||^2\delta_{i,j}=||f_j||^2\delta_{i,j}$

就称为带权$w(x)$的正交函数族。

如果满足：

$\langle f_i, f_j \rangle=\int_{-\infty}^\infty f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=\delta_{i,j}$

其中

$\delta_{i,j}=\left\{\begin{matrix}1 & \mathrm{if}\ i=j \\ 0 & \mathrm{if}\ i\neq j\end{matrix}\right\}$

为克罗内克函数。

就称为带权$w(x)$的标准正交函数族

参见正交多项式

参看

• 正交化
  • Gram-Schmidt正交化
• 正交分解
• 正交矩阵
• 正交基
• 垂直