正交

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间
線段AB與CD彼此正交

正交线性代数的概念,是垂直這一直觀概念的推廣。作為一個形容詞,只有在一個確定的內積空間中才有意義。若內積空間中兩向量內積為0,則稱它們是正交的。如果能夠定義向量間的夾角,則正交可以直觀的理解為垂直。物理中:運動的獨立性,也可以用正交來解釋。

各种正交概念[编辑]

正交子空间[编辑]

内积空间中两向量内积为0,则它们正交。类似地,若内积空间中的向量v子空间A中的每个向量都正交,那么这个向量和子空间A正交。若内积空间的子空间AB满足一者中的每个向量都与另一者正交,那么它们互为正交子空间。

正交变换[编辑]

正交变换T : V \rightarrow V是保持内积线性变换。即是说,对两个向量,它们的内积等于它们在函数T下的内积:

\langle Tx, Ty \rangle = \langle x, y \rangle.

这也就是说,正交变换保持向量的长度不变,也保持两个向量之间的角度不变。

欧几里得空间的例子[编辑]

在二维或三维的欧几里得空间中,两个向量正交当且仅当他们的点积为零,即它们成90°角。可以看出正交的概念正是在此基础上推广而来的。三维空间中,一条直线的正交子空间是一个平面,反之亦然。四维空间中,一条直线的正交子空间则是一个超平面

正交函数集[编辑]

对于两个函数fg,可以定义如下的内积:

\langle f, g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx.

这里引进一个非负的权函数w(x)。这个内积叫做带权w(x)的内积。

两个函数带权w(x)正交,是指它们带权w(x)的内积为零。

\int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx = 0.

由此可以类似定义带权w(x)

||f||_w = \sqrt{\langle f, f\rangle_w}

一个函数列{ fi : i = 1, 2, 3, ... }如果满足:

\langle f_i, f_j \rangle=\int_{-\infty}^\infty f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=||f_i||^2\delta_{i,j}=||f_j||^2\delta_{i,j}

其中

\delta_{i,j}=\begin{cases}1 & \mathrm{if}\ i=j\\0 & \mathrm{if}\ i\neq j\end{cases}

克罗内克函数, 那麼{ fi}就称为带权w(x)的正交函数族

進一步地,如果{ fi}满足:

\langle f_i, f_j \rangle=\int_{-\infty}^\infty f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=\delta_{i,j}

就称{ fi}为带权w(x)的标准正交函数族

参见正交多项式

参看[编辑]

外部連結[编辑]