正交坐標系

在數學裏，一個正交坐標系定義為一組正交坐標 $\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots\ q_n)$ ，其坐標曲面都以直角相交。坐標曲面定義為坐標 $q_i$ 的等值曲面，或等值超曲面。例如，三維直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 是一種正交坐標，它的 $x$ 為常數，$y$ 為常數， $z$ 為常數的坐標曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。

正交坐標時常用來解析一些出現於量子力學、流體動力學、電動力學、熱力學等等的偏微分方程。舉例而言，選擇一個恰當的的正交坐標來解析氫離子 $H_2\,^-$ 的波函數或消防水管的噴水，也許會比用直角坐標方便的多。這主要是因為恰當的正交坐標能夠與一個問題的對稱性相配合，從而促使應用分離變數法來成功的解析關於這問題的方程式。分離變數法是一種數學技巧，專門用來將一個複雜的 $n$ 維問題變為 $n$ 個一維問題。很多問題都可以簡化為拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程，這些方程式可以用很多種正交坐標來分離。

在數學裏，存在有各種各樣無限多的正交坐標系。應用二維直角坐標系 $(x,\ y)$ 的共形映射方法，可以簡易的生成這些正交坐標系。一個複數 $z=x+iy$ 的任何全純函數 $w=f(z)$ ，其複值的導數，如果不等於零，則會造成一個共形映射。如果答案可以表達為 $w=u+iv$ ，則 $u$ 與 $v$ 的等值曲線以直角相交，就好似原本的 $x$ 與 $y$ 的等值曲線以直角相交

三維與更高維的正交坐標系可以由一個二維正交坐標系生成，只要將二維正交坐標往一個新的坐標軸投射（形成類似圓柱坐標系的坐標系），或者將二維正交坐標繞著其對稱軸旋轉。可是，也有一些三維正交坐標系，例如橢球坐標系，則不能夠用上述方法得到。

向量與積分

用數學術語，正交坐標的度規張量絕對沒有非對角項目。換句話說，無窮小距離的平方 $ds^2$ ，可以寫為無窮小坐標位移的平方和：

$ds^{2} = \sum_{i=1}^{n} \left( h_{i} dq_{i} \right)^{2}$ ；

其中，$n$ 是維數，標度因子 $h_i$ 是度規張量的對角元素 $g_{ii}$ 的平方根：

$h_{i}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{ii}(\mathbf{q})}$ 。

這些標度因子可以用來計算一個正交坐標系的微分算子。例如，梯度、拉普拉斯算子、散度、或旋度。

從前面的距離公式，可以觀察出，一個正交坐標 $q_{i}$ 的無窮小改變 $dq_{i}$ ，其相伴的長度是 $ds_{i} = h_{i} dq_{i}$ 。因此，一個位移向量的全微分 $d\mathbf{r}$ 等於

$d\mathbf{r} = \sum_{i=1}^{n} h_{i} dq_{i} \mathbf{e}_{i}$ ；

其中，$\mathbf{e}_{i}$ 是垂直於 $q_{i}$ 等值曲面的單位向量，指向著 $q_{i}$ 增值最快的方向，這些單位向量形成了一個局部直角坐標系的坐標軸。

在正交坐標系裏，內積的公式仍舊不變：

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \sum_{i=1}^{n} A_{i} B_{i}$ 。

因此，向量 $\mathbf{F}$ 沿著周線 $\mathbb{C}$ 的線積分等於

$\int_{\mathbb{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \sum_{i=1}^{n} \int_{\mathbb{C}} F_{i} h_{i} dq_{i}$ ；

其中，$F_{i}$ 是向量 $\mathbf{F}$ 在單位向量 $\mathbf{e}_{i}$ 方向的分量：

$F_{i} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{F}$ 。

類似地，一個無窮小面積元素是

$dA = ds_{i} ds_{j} = h_{i} h_{j} dq_{i} dq_{j},\qquad i\neq j$ ，

一個無窮小體積元素是

$dV = ds_{i} ds_{j} ds_{k} = h_{i} h_{j} h_{k} dq_{i} dq_{j} dq_{k},\qquad i \neq j \neq k$ 。

例如，向量 $\mathbf{F}$ 對於一個曲面 $\mathbb{S}$ 的曲面積分是

$\int_{\mathbb{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A} = \int_{\mathbb{S}} F_{1} h_{2} h_{3} dq_{2} dq_{3} + \int_{\mathbb{S}} F_{2} h_{3} h_{1} dq_{3} dq_{1} + \int_{\mathbb{S}} F_{3} h_{1} h_{2} dq_{1} dq_{2}$ 。

球坐標系實例

球座標系內的一點與它的球座標。

直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 與球坐標 $(r,\ \theta, \phi)$ 的變換方程式為

$x=r\sin\theta\cos\phi$ 、

$y=r\sin\theta\sin\phi$ 、

$z=r\cos\theta$ 。

直角坐標的全微分是

$dx=\sin\theta\cos\phi dr+r\cos\theta\cos\phi d\theta - r\sin\theta\sin\phi d\phi$ 、

$dy=\sin\theta\sin\phi dr+r\cos\theta\sin\phi d\theta+r\sin\theta\cos\phi d\phi$ 、

$dz=\cos\theta dr - r\sin\theta d\theta$ 。

所以，無窮小距離的平方是

$\begin{align}ds^{2} & = dx^{2}+dy^{2}+dz^{2} \\ & =dr^{2}+(rd\theta)^{2}+(r\sin\theta d\phi)^{2} \\\end{align}$ 。

標度因子是

$h_r=1$ 、

$h_{\theta}=r$ 、

$h_{\phi}=r\sin\theta$ 。

向量 $\mathbf{F}$ 沿著周線 $\mathbb{C}$ 的線積分等於

$\int_{\mathbb{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{\mathbb{C}}F_{r}\ dr+F_{\theta}\ rd\theta+F_{\phi}\ r\sin\theta d\phi$ 。

向量 $\mathbf{F}$ 對於一個曲面 $\mathbb{S}$ 的曲面積分是

$\int_{\mathbb{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A} = \int_{\mathbb{S}} F_r\ r^2\sin\theta d\theta d\phi+ \int_{\mathbb{S}} F_{\theta}\ r\sin\theta dr d\phi + \int_{\mathbb{S}} F_{\phi}\ r dr d\theta$ 。

三維微分算子

算子	正交坐標公式
梯度	$\nabla \Phi = \hat{\mathbf{e}}_{1}\frac{1}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} + \hat{\mathbf{e}}_{2}\frac{1}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} + \hat{\mathbf{e}}_{3}\frac{1}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}}$
散度	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \left[\frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3)+\frac{\partial}{\partial q_2}(F_2 h_3 h_1) + \frac{\partial}{\partial q_3}(F_3 h_1 h_2) \right]$
旋度	$\begin{align}\nabla \times \mathbf{F} & =\frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{2} h_{3}} \left[\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{3} F_{3} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{2} F_{2} \right)\right] + \frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{3} h_{1}} \left[\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{1} F_{1} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{3} F_{3} \right)\right] \\ & +\frac{\mathbf{e}_{3}}{h_{1} h_{2}} \left[\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{2} F_{2} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{1} F_{1} \right)\right] \\ \end{align}$
拉普拉斯算子	$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \left[ \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( \frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} \right) + \frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( \frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} \right) + \frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( \frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}} \right) \right]$

梯度導引

一個函數 $\phi$ 的梯度朝某個方向 $\hat{\mathbf{n}}$ 的分量，等於方向導數 $\frac{d\phi}{ds}$ 朝 $\hat{\mathbf{n}}$ 方向的值:

$\nabla \Phi \cdot\hat{\mathbf{n}}=\frac{d\phi}{ds}$ ；

其中， $ds$ 是朝 $\hat{\mathbf{n}}$ 方向的無窮小位移。

假若，這 $\hat{\mathbf{n}}$ 與正交坐標軸 $\hat{\mathbf{e}}_i$ 同方向。那麼，$ds=h_i dq_i$ 。所以，函數 $\phi$ 的梯度朝 $\hat{\mathbf{e}}_i$ 的分量是 $\frac{\partial \phi}{h_i \partial q_i}$ ；也就是說，

$\nabla \Phi = \hat{\mathbf{e}}_{1}\frac{1}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} + \hat{\mathbf{e}}_{2}\frac{1}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} + \hat{\mathbf{e}}_{3}\frac{1}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}}$ 。

散度導引

$\nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1+\hat{\mathbf{e}}_{2}F_2+\hat{\mathbf{e}}_{3}F_3)$ 。

取右手邊第一個項目，

$\nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_1F_1)= \nabla \cdot \left[\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\left(h_2 h_3 F_1\right)\right]$ 。

應用向量恆等式 $\nabla \cdot (\mathbf{A}\phi)=\phi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot(\nabla\phi)$ 與 $\nabla \cdot (\nabla\phi_1 \times \nabla\phi_2)=0$ ，可以得到

$\begin{align} \nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_1F_1) & =(h_2 h_3 F_1)\nabla \cdot\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)+\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\ & =(h_2 h_3 F_1)\nabla\cdot[(\nabla q_2)\times\nabla(q_3)] +\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\ & =\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\ & =\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3) \\ \end{align}$ 。

總合所有項目，

$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \left[\frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3)+\frac{\partial}{\partial q_2}(F_2 h_3 h_1) + \frac{\partial}{\partial q_3}(F_3 h_1 h_2) \right]$。

旋度導引

$\nabla \times \mathbf{F}=\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1+\hat{\mathbf{e}}_{2}F_2+\hat{\mathbf{e}}_{3}F_3)$ 。

取右手邊第一個項目，

$\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1)=\nabla \times \left[\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\left(h_1 F_1\right)\right]$。

應用向量恆等式 $\nabla \times (\mathbf{A}\phi)=\phi\nabla\times\mathbf{A} - \mathbf{A}\times(\nabla\phi)$ ，

$\begin{align} \nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1) & =(h_1 F_1)\nabla\times\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right) - \left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\times\nabla(h_1 F_1) \\ & =(h_1 F_1)\nabla\times(\nabla q_1) - \left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\times\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_{2}}{h_{2}} \frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_1 F_1) + \frac{\hat{\mathbf{e}}_{3}}{h_{3}} \frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_1 F_1)\right) \\ \end{align}$。

應用向量恆等式 $\nabla \times (\nabla\phi)=0$ ，

$\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1)=\frac{\hat{\mathbf{e}}_{2}}{h_1 h_{3}} \frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_1 F_1) - \frac{\hat{\mathbf{e}}_{3}}{h_1 h_{2}} \frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_1 F_1)$。

總合所有項目，

$\begin{align}\nabla \times \mathbf{F} & =\frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{2} h_{3}} \left[\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{3} F_{3} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{2} F_{2} \right)\right] + \frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{3} h_{1}} \left[\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{1} F_{1} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{3} F_{3} \right)\right] \\ & +\frac{\mathbf{e}_{3}}{h_{1} h_{2}} \left[\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{2} F_{2} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{1} F_{1} \right)\right] \\ \end{align}$ 。

拉普拉斯算子

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \left[ \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( \frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} \right) + \frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( \frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} \right) + \frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( \frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}} \right) \right]$ 。

參考文獻

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• Margenau H. and Murphy GM. (1956) The Mathematics of Physics and Chemistry, 2nd. ed., Van Nostrand, pp. 172-192。