正交坐標系

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數學裏,一個正交坐標系定義為一組正交坐標\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots\ q_n),其坐標曲面都以直角相交。坐標曲面定義為坐標q_i等值曲面,或等值超曲面。例如,三維直角坐標(x,\ y,\ z)是一種正交坐標,它的x為常數,y為常數,z為常數的坐標曲面,都是互相以直角相交的平面,都互相垂直。

正交坐標時常用來解析一些出現於量子力學流體動力學電動力學熱力學等等的偏微分方程。舉例而言,選擇一個恰當的的正交坐標來解析氫離子H_2\,^- 波函數或消防水管的噴水,也許會比用直角坐標方便的多。這主要是因為恰當的正交坐標能夠與一個問題的對稱性相配合,從而促使應用分離變數法來成功的解析關於這問題的方程式。分離變數法是一種數學技巧,專門用來將一個複雜的n維問題變為n個一維問題。很多問題都可以簡化為拉普拉斯方程亥姆霍茲方程,這些方程式可以用很多種正交坐標來分離。

在數學裏,存在有各種各樣無限多的正交坐標系。應用二維直角坐標系(x,\ y)共形映射方法,可以簡易的生成這些正交坐標系。一個複數z=x+iy的任何全純函數w=f(z),其複值的導數,如果不等於零,則會造成一個共形映射。如果答案可以表達為w=u+iv,則uv的等值曲線以直角相交,就好似原本的xy的等值曲線以直角相交

三維與更高維的正交坐標系可以由一個二維正交坐標系生成,只要將二維正交坐標往一個新的坐標軸投射(形成類似圓柱坐標系的坐標系),或者將二維正交坐標繞著其對稱軸旋轉。可是,也有一些三維正交坐標系,例如橢球坐標系,則不能夠用上述方法得到。

向量與積分[编辑]

用數學術語,正交坐標的度規張量絕對沒有非對角項目。換句話說,無窮小距離的平方ds^2,可以寫為無窮小坐標位移的平方和:

ds^{2} = \sum_{i=1}^{n} \left( h_{i} dq_{i} \right)^{2}

其中,n是維數,標度因子h_i是度規張量的對角元素g_{ii}的平方根:

h_{i}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{ii}(\mathbf{q})}

這些標度因子可以用來計算一個正交坐標系的微分算子。例如,梯度拉普拉斯算子散度、或旋度

從前面的距離公式,可以觀察出,一個正交坐標q_{i}的無窮小改變dq_{i},其相伴的長度是ds_{i} = h_{i} dq_{i}。因此,一個位移向量的全微分d\mathbf{r}等於

d\mathbf{r} = \sum_{i=1}^{n} h_{i} dq_{i} \mathbf{e}_{i}

其中,\mathbf{e}_{i}是垂直於q_{i}等值曲面的單位向量,指向著q_{i}增值最快的方向,這些單位向量形成了一個局部直角坐標系的坐標軸。

在正交坐標系裏,內積的公式仍舊不變:

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \sum_{i=1}^{n} A_{i} B_{i}

因此,向量\mathbf{F}沿著周線\mathbb{C}的線積分等於

\int_{\mathbb{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} =
\sum_{i=1}^{n} \int_{\mathbb{C}} F_{i} h_{i} dq_{i}

其中,F_{i}是向量\mathbf{F}在單位向量\mathbf{e}_{i}方向的分量:

F_{i} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{F}

類似地,一個無窮小面積元素是

dA = ds_{i} ds_{j} = h_{i} h_{j} dq_{i} dq_{j},\qquad i\neq j

一個無窮小體積元素是

dV = ds_{i} ds_{j} ds_{k} = h_{i} h_{j} h_{k} dq_{i} dq_{j} dq_{k},\qquad i \neq j \neq k

例如,向量\mathbf{F}對於一個曲面\mathbb{S}的曲面積分是

\int_{\mathbb{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A} =
\int_{\mathbb{S}} F_{1} h_{2} h_{3} dq_{2} dq_{3} + 
\int_{\mathbb{S}} F_{2} h_{3} h_{1} dq_{3} dq_{1} + 
\int_{\mathbb{S}} F_{3} h_{1} h_{2} dq_{1} dq_{2}

球坐標系實例[编辑]

球座標系內的一點與它的球座標。

直角坐標(x,\ y,\ z)與球坐標(r,\ \theta, \phi)的變換方程式為

x=r\sin\theta\cos\phi
y=r\sin\theta\sin\phi
z=r\cos\theta

直角坐標的全微分是

dx=\sin\theta\cos\phi dr+r\cos\theta\cos\phi d\theta - r\sin\theta\sin\phi d\phi
dy=\sin\theta\sin\phi dr+r\cos\theta\sin\phi d\theta+r\sin\theta\cos\phi d\phi
dz=\cos\theta dr - r\sin\theta d\theta

所以,無窮小距離的平方是

\begin{align}ds^{2} & = dx^{2}+dy^{2}+dz^{2} \\
 & =dr^{2}+(rd\theta)^{2}+(r\sin\theta d\phi)^{2} \\\end{align}

標度因子是

h_r=1
h_{\theta}=r
h_{\phi}=r\sin\theta

向量\mathbf{F}沿著周線\mathbb{C}的線積分等於

\int_{\mathbb{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{\mathbb{C}}F_{r}\ dr+F_{\theta}\ rd\theta+F_{\phi}\ r\sin\theta d\phi

向量\mathbf{F}對於一個曲面\mathbb{S}的曲面積分是

\int_{\mathbb{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A} =
\int_{\mathbb{S}} F_r\ r^2\sin\theta d\theta d\phi+ 
\int_{\mathbb{S}} F_{\theta}\ r\sin\theta dr d\phi + 
\int_{\mathbb{S}} F_{\phi}\ r dr d\theta

三維微分算子[编辑]

算子 正交坐標公式
梯度 \nabla \Phi = \hat{\mathbf{e}}_{1}\frac{1}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} +
\hat{\mathbf{e}}_{2}\frac{1}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} +
\hat{\mathbf{e}}_{3}\frac{1}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}}
散度 \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} 
\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3)+\frac{\partial}{\partial q_2}(F_2 h_3 h_1) + 
\frac{\partial}{\partial q_3}(F_3 h_1 h_2) \right]
旋度 \begin{align}\nabla \times \mathbf{F} & =\frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{2} h_{3}} 
\left[\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{3} F_{3} \right) - 
\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{2} F_{2} \right)\right] + 
\frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{3} h_{1}} 
\left[\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{1} F_{1} \right) - 
\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{3} F_{3} \right)\right] \\
  & +\frac{\mathbf{e}_{3}}{h_{1} h_{2}} 
\left[\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{2} F_{2} \right) - 
\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{1} F_{1} \right)\right] \\ \end{align}
拉普拉斯算子 \nabla^{2} \Phi = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} 
\left[
\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( \frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} \right) +
\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( \frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} \right) +
\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left(\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}} \right)
\right]

梯度導引[编辑]

一個函數\phi的梯度朝某個方向\hat{\mathbf{n}}的分量,等於方向導數 \frac{d\phi}{ds}\hat{\mathbf{n}}方向的值:

\nabla \Phi \cdot\hat{\mathbf{n}}=\frac{d\phi}{ds}

其中,ds是朝\hat{\mathbf{n}}方向的無窮小位移。

假若,這\hat{\mathbf{n}}與正交坐標軸\hat{\mathbf{e}}_i同方向。那麼,ds=h_i dq_i。所以,函數\phi的梯度朝\hat{\mathbf{e}}_i的分量是\frac{\partial \phi}{h_i \partial q_i};也就是說,

\nabla \Phi = \hat{\mathbf{e}}_{1}\frac{1}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} +
\hat{\mathbf{e}}_{2}\frac{1}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} +
\hat{\mathbf{e}}_{3}\frac{1}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}}

散度導引[编辑]

\nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1+\hat{\mathbf{e}}_{2}F_2+\hat{\mathbf{e}}_{3}F_3)

取右手邊第一個項目,

\nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_1F_1)= \nabla \cdot \left[\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\left(h_2 h_3 F_1\right)\right]

應用向量恆等式\nabla \cdot (\mathbf{A}\phi)=\phi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot(\nabla\phi)\nabla \cdot (\nabla\phi_1 \times \nabla\phi_2)=0,可以得到

\begin{align} \nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_1F_1) & =(h_2 h_3 F_1)\nabla \cdot\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)+\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\
 & =(h_2 h_3 F_1)\nabla\cdot[(\nabla q_2)\times\nabla(q_3)] +\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\
 & =\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\
 & =\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3) \\
\end{align}

總合所有項目,

\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} 
\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3)+\frac{\partial}{\partial q_2}(F_2 h_3 h_1) + 
\frac{\partial}{\partial q_3}(F_3 h_1 h_2) \right]

旋度導引[编辑]

\nabla \times \mathbf{F}=\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1+\hat{\mathbf{e}}_{2}F_2+\hat{\mathbf{e}}_{3}F_3)

取右手邊第一個項目,

\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1)=\nabla \times \left[\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\left(h_1 F_1\right)\right]

應用向量恆等式\nabla \times (\mathbf{A}\phi)=\phi\nabla\times\mathbf{A} - \mathbf{A}\times(\nabla\phi)

\begin{align} \nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1) & =(h_1 F_1)\nabla\times\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right) - \left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\times\nabla(h_1 F_1) \\
  & =(h_1 F_1)\nabla\times(\nabla q_1) - \left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\times\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_{2}}{h_{2}} \frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_1 F_1) +
\frac{\hat{\mathbf{e}}_{3}}{h_{3}} \frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_1 F_1)\right) \\ 
\end{align}

應用向量恆等式\nabla \times (\nabla\phi)=0

\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1)=\frac{\hat{\mathbf{e}}_{2}}{h_1 h_{3}} \frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_1 F_1) - \frac{\hat{\mathbf{e}}_{3}}{h_1 h_{2}} \frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_1 F_1)

總合所有項目,

\begin{align}\nabla \times \mathbf{F} & =\frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{2} h_{3}} 
\left[\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{3} F_{3} \right) - 
\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{2} F_{2} \right)\right] + 
\frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{3} h_{1}} 
\left[\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{1} F_{1} \right) - 
\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{3} F_{3} \right)\right] \\
  & +\frac{\mathbf{e}_{3}}{h_{1} h_{2}} 
\left[\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{2} F_{2} \right) - 
\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{1} F_{1} \right)\right] \\ \end{align}

拉普拉斯算子[编辑]

\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} 
\left[
\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( \frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} \right) +
\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( \frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} \right) +
\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left(\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}} \right)
\right]

參考文獻[编辑]

  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, pp. 164-182。
  • Morse PM and Feshbach H. (1953) Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, pp. 494-523, 655-666。
  • Margenau H. and Murphy GM. (1956) The Mathematics of Physics and Chemistry, 2nd. ed., Van Nostrand, pp. 172-192。