标准正交基

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线性代数中,一个内积空间正交基orthogonal basis)是元素两两正交。称基中的元素为基向量。假若,一个正交基的基向量的模长都是单位长度1,则称这正交基为标准正交基Orthonormal basis)。

无论在有限维还是无限维空间中,正交基的概念都是很重要的。在无限维希尔伯特空间中,正交基不再是哈默尔基,也即是说不是每个元素都可以写成有限个基中元素的线性组合。因此在无限维空间中,正交基应该被更严格地定义为由线性无关而且两两正交的元素组成、张成的空间是原空间的一个稠密子空间(而不是整个空间)的集合。

注意,在没有定义内积的空间中,“正交基”一词是没有意义的。因此,一个具有正交基的巴拿赫空间,就是一个希尔伯特空间

例子[编辑]

  • 在欧几里德空间\mathbb{R}^{3}中,集合:{e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)}组成一个标准正交基。
  • fn(x) = exp(2πinx)定义的集合:
{fn : nZ}组成在复勒贝格空间L2([0,1])上的一个标准正交基。

基本性质[编辑]

BH上的一个正交基,那么H中的每个元素x都可以表示成:

x=\sum_{b\in B}{\langle x,b\rangle\over\lVert b\rVert^2} b

B是标准正交基时,就是:

x=\sum_{b\in B}\langle x,b\rangle b

x模长表示为:

\|x\|^2=\sum_{b\in B}|\langle x,b\rangle |^2.

即使B不是可数的,上面和式里的非零项也只会有可数多个,所以这个表达式仍然是有效的。上式被称作x傅立叶展开,详见傅里叶级数

BH上的一个标准正交基,那么H同构”于序列空间l2B)。因为存在以下H -> l2B)的双射Φ,使得对于所有H中的xy有:

\langle\Phi(x),\Phi(y)\rangle=\langle x,y\rangle

正交基的存在性[编辑]

运用佐恩引理格拉姆-施密特正交化方法,可以证明每个希尔伯特空间都有基,并且有正交基。同一个空间的正交基的基数必然是相同的。当一个希尔伯特空间有可数个元素组成的正交基,就说这个空间是可分的。

哈默尔基[编辑]

有前面的定义可以知道,在无穷维空间的情况下,正交基不再是一般线性代数的定义下的基。为了区分,把一般线性代数的定义下的基称为哈默尔基。

在内积空间的实际应用中,哈默尔基甚少出现,因此提到“基”的概念时,一般指的是正交基。

参看[编辑]