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正交补

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数学领域线性代数泛函分析中,内积空间 V子空间 W正交补 W^\bot正交W 中所有向量的所有 V 中向量的集合,也就是

W^\bot=\left\{\,x\in V : \forall y\in W\ \langle x , y \rangle = 0 \, \right\}.\,

正交补总是闭合在度量拓扑下。在希尔伯特空间中,W 的正交补的正交补是 W闭包,就是说

W^{\bot\,\bot}=\overline{W}.\,

如果 A 是 m \times n 矩阵,而 \mbox{Row } A, {Col } A\mbox{Nul } A 分别指称行空间列空间零空间,则有

(\mbox{Row } A)^\bot = \mbox{Nul } A

(\mbox{Col } A)^\bot = \mbox{Nul } A^T


巴拿赫空间[编辑]

在一般的巴拿赫空间中有自然的类似物。在这种情况下类似的定义 W 的正交补为 V对偶的子空间

W^\bot = \left\{\,x\in V^* : \forall y\in W\ x(y) = 0 \, \right\}.\,

它总是 V^* 的闭合子空间。它也有类似的双重补性质。W^{\bot\,\bot} 现在是 {V^*}^* 的子空间(它同一于 V)。但是自反空间有在 V{{V^*}^*} 之间的自然同构 i。在这种情况下我们有

i\overline{W} = W^{\bot\,\bot}.

这是哈恩-巴拿赫定理的直接推论。