正六邊形鑲嵌

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正六邊形鑲嵌
正六邊形鑲嵌
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類別 正鑲嵌
頂點圖英语Vertex figure 6.6.6 (or 63)
頂點佈局 63
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png
施萊夫利符號 {6,3}
t0,1{3,6}
威佐夫符號英语Wythoff symbol 3 | 6 2
2 6 | 3
3 3 3 |
康威表示法 H
對稱群 p6m, [6,3], (*632)
對偶 正三角形鑲嵌
Rotation group p6, [6,3]+, (632)
二面角 180(平角)
Hexagonal tiling vertfig.png
6.6.6 (or 63)
(頂點圖)
Uniform tiling 63-t2.png
正三角形鑲嵌
(對偶多面體)

幾何學中,正六邊形鑲嵌是一種平面鑲嵌,由正六邊形重覆組合排列而成,且填滿整個平面,而且沒有任何空隙重疊,由於皆由正多邊形組成,因此稱為正鑲嵌圖。正六邊形鑲嵌是三维欧几里得空间中三个正密铺之一。另外两个分别是正三角形镶嵌正方形镶嵌

由於正六邊形鑲嵌是由正六邊形組成,又因正六邊形內角120°,因此每個頂點周圍都有3個正六邊形,且剛好占滿360°,才能填滿平面

施萊夫利符號中,正六邊形鑲嵌可用{6,3}或t{3,6}表示。

圆堆砌[编辑]

正六边形镶嵌可以被用来进行圆堆砌英语Circle packing,以其每个顶点为圆心放置等直径的圆。在这个堆砌里,每个圆都与3个相邻圆接触(接触数英语Kissing number problem)。每个正六边形中间的部分实际上还可以再放入一个圆,这样我们就会得到二维最密圆堆砌——正三角形镶嵌式圆堆砌,这时接触数达到最大值6。

Hexagonal tiling circle packing.png

半正涂色[编辑]

正六边形镶嵌共有3种不同的半正涂色英语Uniform coloring,都可以由Wythoff英语Wythoff constructions镜面对称构造出来。(h,k)表示一种涂色的面周期性重复,以正六边形距离h、k计数,h在先,k在后。

k阶半正 一阶半正 二阶半正 三阶半正
图像 Uniform tiling 63-t0.png Uniform tiling 63-t12.png Uniform tiling 333-t012.png Truncated rhombille tiling.png Hexagonal tiling 4-colors.png Hexagonal tiling 2-1.png Hexagonal tiling 7-colors.png
颜色数 1 2 3 2 4 2 7
(h,k) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)
施莱夫利符号 {6,3} t{3,6} t0,1,2{3[3]}
Wythoff符号英语Wythoff symbol 3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 |
对称性 *632
(p6m)
[6,3]
*333
(p3)
[3[3]]
*632
(p6m)
[6,3]
632
(p6)
[6,3]+
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png
康威多面体符号 H tH teH t6daH t6dateH

其中三色正六边形镶嵌是一个由三阶全序多胞形英语permutohedron产生的镶嵌。

相关半正镶嵌[编辑]

正六边形镶嵌可以通过截角操作得到一系列与之相关的半正镶嵌,其与正六边形镶嵌拥有相似的对称性:

正三角形镶嵌家族的半正镶嵌
对称性: [6,3], (*632) [6,3]+, (632) [1+,6,3], (*333) [6,3+], (3*3)
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform tiling 63-t0.png Uniform tiling 63-t01.png Uniform tiling 63-t1.png Uniform tiling 63-t12.png Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 63-t02.png Uniform tiling 63-t012.png Uniform tiling 63-snub.png Uniform tiling 333-t1.png Uniform tiling 63-h12.png
{6,3} t0,1{6,3} t1{6,3} t1,2{6,3} t2{6,3} t0,2{6,3} t0,1,2{6,3} s{6,3} h{6,3} h1,2{6,3}
半正对偶
CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 6.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Uniform tiling 63-t2.png Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg Rhombic star tiling.png Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 63-t0.png Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg Uniform tiling 63-t0.png
V6.6.6 V3.12.12 V3.6.3.6 V6.6.6 V3.3.3.3.3.3 V3.4.12.4 V.4.6.12 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.3.3

正六边形镶嵌在拓扑上与一系列一直延伸到双曲镶嵌的顶点图英语vertex figuren3的(广义)多面体相关:

多面体 欧式镶嵌 双曲镶嵌
Spherical trigonal hosohedron.png
{2,3}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-33-t0.png
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-43-t0.png
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-53-t0.png
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-63-t0.png
{6,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 237-1.png
{7,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 238-1.png
{8,3}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
... H2 tiling 23i-1.png
{∞,3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

(三阶)正六边形镶嵌在拓扑上与一系列面为正六边形的密铺相关联,这些镶嵌都可称之为“正六边形镶嵌”,所以我们以“n 阶”来区分,其施莱夫利符号为{6,n},考克斯特符号英语Coxeter diagramCDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel n.pngCDel node.png,一直到n = ∞:

球面 欧氏 双曲镶嵌
Hexagonal dihedron.png
{6,2}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
Uniform tiling 63-t0.png
{6,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 246-1.png
{6,4}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
H2 tiling 256-1.png
{6,5}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
H2 tiling 266-4.png
{6,6}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
H2 tiling 267-4.png
{6,7}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
H2 tiling 268-4.png
{6,8}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
... H2 tiling 26i-4.png
{6,∞}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png


这个镶嵌还是一系列有考克斯特对称群[n,3]对称性的(半)截角菱形多面体或镶嵌的一员。立方体可以被看作是“菱形六面体”,这里菱形就是正方形。它们的截角形在原顶点处有正的多边形,而原来的菱形面则被截成了非正六边形。这一系列多面体或镶嵌有两种顶点图:(n.6.6)和(6,6,6)。

多面体 欧氏镶嵌 双曲镶嵌
[3,3] [4,3] [5,3] [6,3] [7,3] [8,3]
Hexahedron.svg
立方体
Rhombicdodecahedron.jpg
菱形十二面体
Rhombictriacontahedron.jpg
菱形三十面体
Rhombic star tiling.png
菱形镶嵌
Order73 qreg rhombic til.png Uniform dual tiling 433-t01-yellow.png
Alternate truncated cube.png
交错截角立方体
Truncated rhombic dodecahedron2.png
截角菱形十二面体
Truncated rhombic triacontahedron.png
截角菱形三十面体
Truncated rhombille tiling.png
正六边形镶嵌

正六边形镶嵌亦可被看作延长菱形镶嵌,菱形镶嵌的每一个顶点都被延长成了新的棱。这类似于三维空间中的菱形十二面体堆砌和菱形六角化十二面体堆砌之间的关系。

Kah 3 6 romb.png
菱形镶嵌
Uniform tiling 63-t0.png
正六边形镶嵌
Chicken Wire close-up.jpg
利用这一关系的栅栏

基于正六边形镶嵌和正三角形镶嵌的Wythoff构建[编辑]

就像半正多面体一样,这里也有8个基于正六边形镶嵌(和正三角形镶嵌)的半正镶嵌。在以下的图片中,原有面对应的面被涂成了红色,原有顶点所对应的面被涂成了黄色,原有棱对应的面被涂成了蓝色。这8个半正镶嵌中,只有7个是拓扑上相异的。(截顶正三角形镶嵌与正六边形镶嵌在拓扑上相同)

正六边形镶嵌/正三角形镶嵌
对称性: [6,3], (*632) [6,3]+
(632)
[1+,6,3]
(*333)
[6,3+]
(3*3)
{6,3} t{6,3} r{6,3}
r{3[3]}
t{3,6}
t{3[3]}
{3,6}
{3[3]}
rr{6,3}
s2{6,3}
tr{6,3} sr{6,3} h{6,3}
{3[3]}
h2{6,3}
r{3[3]}
s{3,6}
s{3[3]}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
CDel node h0.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel branch 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel branch 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h0.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png =
CDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png or CDel branch 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png =
CDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png or CDel branch 01rd.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h0.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
= CDel branch hh.pngCDel split2.pngCDel node h.png
Uniform tiling 63-t0.png Uniform tiling 63-t01.png Uniform tiling 63-t1.png
Uniform tiling 333-t01.png
Uniform tiling 63-t12.png
Uniform tiling 333-t012.png
Uniform tiling 63-t2.png
Uniform tiling 333-t2.png
Uniform tiling 63-t02.png
Rhombitrihexagonal tiling snub edge coloring.png
Uniform tiling 63-t012.png Uniform tiling 63-snub.png Uniform tiling 333-t0.pngUniform tiling 333-t1.png Uniform tiling 333-t02.pngUniform tiling 333-t12.png Uniform tiling 63-h12.png
Uniform tiling 333-snub.png
半正对偶
V63 V3.122 V(3.6)2 V63 V36 V3.4.12.4 V.4.6.12 V34.6 V36 V(3.6)2 V36
CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 6.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node fh.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Uniform tiling 63-t2.png Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg Rhombic star tiling.png Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 63-t0.png Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg Uniform tiling 63-t0.png Rhombic star tiling.png Uniform tiling 63-t0.png
三角形
对称性
拓展
对称性
拓展
符号
拓展
堆砌符号
a1 [3[3]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png ×1 (None)
i2 <[3[3]]>
= [6,3]
CDel node c1.pngCDel split1.pngCDel branch c2.png
= CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 6.pngCDel node.png
×2 CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png 1, CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png 2
r6 [3[3[3]]]
= [6,3]
CDel node c1.pngCDel split1.pngCDel branch c1.png
= CDel node c1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
×6 CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png 3, CDel node h.pngCDel split1.pngCDel branch hh.png (1)
Wythoff英语Wythoff symbol 3 | 3 3 3 3 | 3 3 | 3 3 3 3 | 3 3 | 3 3 3 3 | 3 3 3 3 | | 3 3 3
考克斯特 CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 10l.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch 10l.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch 01l.png CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 01l.png CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png CDel node h.pngCDel split1.pngCDel branch hh.png
图像
顶点图英语Vertex figure
Uniform tiling 333-t0.png
(3.3)3
Uniform tiling 333-t01.png
3.6.3.6
Uniform tiling 333-t1.png
(3.3)3
Uniform tiling 333-t12.png
3.6.3.6
Uniform tiling 333-t2.png
(3.3)3
Uniform tiling 333-t02.png
3.6.3.6
Uniform tiling 333-t012.png
6.6.6
Uniform tiling 333-snub.png
3.3.3.3.3.3


拓扑相同的镶嵌[编辑]

正六边形镶嵌是有着{6,3}拓扑的一种特殊的正的镶嵌,而实际上,这里有12种类型的非正但是面全同英语face-transitivity顶点全同英语vertex-transitivity的六边形镶嵌,前7种可以被认为是没有边对边正好对上的四边形镶嵌,也可被认为是有两对共线边的六边形镶嵌。这里的“对称性”假定所有的面都是相同的。

正六边形镶嵌也可被变形为一种手征性的四填充色三向同性的编织图案。其中部分正六边形被扭曲成了平行四边形。这一图案有着旋转632 (p6) 对称性英语List_of_planar_symmetry_groups#Wallpaper_groups

四色正六边形镶嵌
正六边形 六边形编织
p6m (*632) p6 (632)
Hexagonal tiling 4-colors.png Weaved hexagonal tiling.png

應用[编辑]

正六邊形鑲嵌是二維空間最密的排列方式。在蜂窩猜想中,正六邊形鑲嵌是使用最少的總周長將該表面劃分成面積相等的區域的最佳方法。[1][2]最佳的三維結構由開爾文勳爵(Lord Kelvin)提出,他認為,開爾文結構英语Kelvin structure(體心立方晶格)是最佳的結構(最佳結構可能出現於肥皂泡)。然而,一个更加不对称的威尔-费兰结构英语Weaire–Phelan structure要比它好一些。

參考文獻[编辑]

  1. ^ Weisstein, Eric W. Honeycomb Conjecture. MathWorld. [27 Dec 2010]. 
  2. ^ Hales, Thomas C. The Honeycomb Conjecture. Discrete and Computational Geometry. 8 Jun 1999, 25: 1–22 (2001). arXiv:math/9906042. 
  1. Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
  2. Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1.  (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
  3. MathWorldHexagonal Grid 的资料,作者:埃里克·韦斯坦因
  4. Richard Klitzing, 2D Euclidean tilings, o3o6x - hexat - O3
  5. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. 35. ISBN 0-486-23729-X. 
  6. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]