正切半角公式

正切半角公式，又称万能公式，这一组公式有四个功能：

1. 将角统一为$\frac{\alpha }{2}$；
2. 将函数名称统一为$\tan$；
3. 任意实数都可以表示为$\tan \frac{\alpha }{2}$的形式，可以用正切函数换元。
4. 在某些积分中,可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分.

因此，这组公式被称为以切表弦公式，简称以切表弦。它们是由二倍角公式变形得到的。

$\sin \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}$

$\cos \alpha = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}$

$\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}$

而被称为萬能公式的原因是利用$\tan \frac{\alpha }{2}$的代換可以解決一些有關三角函数的積分。参见三角换元法。

万能公式的证明

由二倍角公式，有：

$\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} =\frac{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2}} =\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$

$\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}$

再由同角三角函数间的关系,得

$\cos \alpha = \frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}=\frac{\frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}}{\frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}} = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}$