正切半角公式

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

正切半角公式,又称万能公式,这一组公式有四个功能:

  1. 将角统一为\frac{\alpha }{2}
  2. 将函数名称统一为\tan
  3. 任意实数都可以表示为\tan \frac{\alpha }{2}的形式,可以用正切函数换元
  4. 在某些积分中,可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分.

因此,这组公式被称为以切表弦公式,简称以切表弦。它们是由二倍角公式变形得到的。

\sin \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}
\cos \alpha = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}
\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}

而被称为萬能公式的原因是利用\tan \frac{\alpha }{2}的代換可以解決一些有關三角函数的積分。参见三角换元法

万能公式的证明[编辑]

二倍角公式,有:

\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} =\frac{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2}} =\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}

\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}

再由同角三角函数间的关系,得

\cos \alpha = \frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}=\frac{\frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}}{\frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}} = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}