正切半角公式

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正切半角公式,又称万能公式,这一组公式有四个功能:

  1. 将角统一为\frac{\alpha }{2}
  2. 将函数名称统一为\tan
  3. 任意实数都可以表示为\tan \frac{\alpha }{2}的形式,可以用正切函数换元
  4. 在某些积分中,可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分.

因此,这组公式被称为以切表弦公式,简称以切表弦。它们是由二倍角公式变形得到的。

\sin \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}
\cos \alpha = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}
\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}

而被称为萬能公式的原因是利用\tan \frac{\alpha }{2}的代換可以解決一些有關三角函数的積分。参见三角换元法


\begin{align}
\tan\left(\frac{\eta}{2} \pm \frac{\theta}{2}\right) & = \frac{\sin\eta \pm \sin\theta}{\cos\eta + \cos\theta} = -\frac{\cos\eta - \cos\theta}{\sin\eta \mp \sin\theta}, \\[10pt]
\tan\left(\pm\frac{\theta}{2}\right) & = \frac{\pm\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{\pm\tan\theta}{\sec\theta + 1} = \frac{\pm 1}{\csc\theta + \cot\theta}, ~~~~(\eta = 0) \\[10pt]
\tan\left(\pm\frac{\theta}{2}\right) & = \frac{1-\cos\theta}{\pm\sin\theta} = \frac{\sec\theta-1}{\pm\tan\theta} = \pm(\csc\theta-\cot\theta), ~~~~(\eta=0) \\[10pt]
\tan\left(\frac{\pi}{4} \pm \frac{\theta}{2} \right) & = \frac{1 \pm \sin\theta}{\cos\theta} = \sec\theta \pm \tan\theta = \frac{\csc\theta \pm 1}{\cot\theta}, ~~~~(\eta=\frac{\pi}{2}) \\[10pt]
\tan\left(\frac{\pi}{4} \pm \frac{\theta}{2} \right) & = \frac{\cos\theta}{1 \mp \sin\theta} = \frac{1}{\sec\theta \mp \tan\theta} = \frac{\cot\theta}{\csc\theta \mp 1}, ~~~~(\eta=\frac{\pi}{2}) \\[10pt]
\frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)} & = \sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}}.
\end{align}

万能公式的证明[编辑]

二倍角公式,有:

\sin \alpha 
= 2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} =\frac{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2}} 
= \frac{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} \div \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{(\cos^2 \frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2})\div \cos^2 \frac{\alpha}{2}}  
= \frac{2\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}{1+\frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}
=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}

\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}

再由同角三角函数间的关系,得

\cos \alpha = \frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}=\frac{\frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}}{\frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}} = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}

几何证明[编辑]

一个 几何证明 正切半角公式的证明

在单位圆内, t = tan(φ/2).根据 相似, \frac{t}{\sin \phi} = \frac{1}{1+ \cos \phi}. 可以得出 t = \frac{\sin \phi}{1+ \cos \phi} = \frac{\sin \phi(1- \cos \phi)}{(1+ \cos \phi)(1- \cos \phi)} = \frac{1- \cos \phi}{\sin \phi}.


很显然\tan \frac{a+b}{2} = \frac{\sin \frac{a+b}{2}}{\cos \frac{a+b}{2}} = \frac{\sin a + \sin b}{\cos a + \cos b}.

双曲函数[编辑]

可以在双曲函数起到类似的作用.由双曲线右支上的一点(cosh θ, sinh θ)给出。从(−1, 0)到y轴给出了如下等式:

t = \tanh\tfrac{1}{2}\theta = \frac{\sinh\theta}{\cosh\theta+1} = \frac{\cosh\theta-1}{\sinh\theta}

可以得到

\cosh\theta = \frac{1 + t^2}{1 - t^2},   \sinh\theta = \frac{2t}{1 - t^2},
\tanh\theta = \frac{2t}{1 + t^2},   \coth\theta = \frac{1 + t^2}{2t},
\mathrm{sech}\,\theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2},   \mathrm{csch}\,\theta = \frac{1 - t^2}{2t},

e^{\theta} = \frac{1 + t}{1 - t},   e^{-\theta} = \frac{1 - t}{1 + t}.

卡尔·维尔斯特拉斯引入这个式子来省去查找原函数的麻烦。

θT而得出下面的双曲反正切和自然对数之间的关系:

\operatorname{artanh} t = \frac{1}{2}\ln\frac{1+t}{1-t}.