正则形式的博弈

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博弈论中,正则形式是描述博弈的一种方式。与延展形式不同,正则形式不用图形来描述博弈,而是用矩阵来陈述博弈。与延展形式的表述方式相比,这种方式在识别出严格优势策略纳什均衡上更有用,但会丢失某些信息。博弈的正则形式的表述方式包括如下部分:每个参与者所有显然的和可能的策略,以及和与其相对应的收益。

非完美信息完全静态博弈中,正则形式的表述方式详细地说明了参与者策略空间和收益函数。策略空间是某个参与者的所有可能策略的集合。策略是参与者在博弈的每个阶段——不管在博弈中这个阶段实际上是否会出现——将要采取的行动的完整计划。每个参与者的收益函数,是从参与者策略空间的向量积到该参与者收益集合(一般是实数集,数字表示基数效用或序数效用——在正则形式的表述方式中常常是基数效用)的映射。也就是说,参与者的收益函数把策略组合(所有参与者策略的清单)作为它的输入量,然后输出参与者的收益。

一个实例[编辑]

一个正则形式的博弈
乙选择左 乙选择右
甲选择顶 4, 3 -1, -1
甲选择底 0, 0 3, 4

有种博弈是参与者同时(或至少在做出行动前不观察其他参与者的动作)做出行动,并按照上述已做出行动的组合获得收益。右边的矩阵是这种博弈得正则形式的表述方式。例如,如果甲做出行动“顶”,而乙做出行动“左”,则甲得到收收益4,乙得到收益3。在每个回合,第一个数字代表竖排参与者(此处为甲)的收益,第二个数字代表横排参与者(此处为乙)的收益。

其他表述方式[编辑]

对称博弈(其收益不是依赖于参与者选择的动作)常常被表述为只有一种收益,即竖排参与者的收益。例如,左右两边的收益矩阵表述的是同一个博弈。

两个参与者都有的
雄鹿 野兔
雄鹿 3, 3 0, 2
野兔 2, 0 2, 2
只有竖排的
雄鹿 野兔
雄鹿 3 0
野兔 2 2

正则形式的使用[编辑]

占优策略[编辑]

囚徒困境
合作 背叛
合作 2, 2 0, 3
背叛 3, 0 1, 1

收益矩阵有助于剔除劣势策略,而且经常被用于说明这个概念。例如,在囚徒困境中(右图),参与者会发现因为其他人的背叛合作成了严格劣势策略。参与者会比较每列的第一个数字,在这个例子中,3>2且1>0。这表明无论横排参与者怎样选择,竖排参与者选择背叛都比较好些。类似地,参与者会比较每列的第二个数字,同样也是3>2且1>0。这说明无论竖排参与者怎么做,横排参与者选择背叛都比较好些。这就证明了此博弈唯一的纳什均衡是(背叛背叛)。

正则形式的连续博弈[编辑]

一个连续博弈
左,左 左,右 右,左 右,右
4, 3 4, 3 -1, -1 -1, -1
0, 0 3, 4 0, 0 3, 4

这些矩阵只表述同时(或者更一般地,信息是不完美的)做出行动的博弈。上述矩阵不能表述甲先做出行动,被乙观察到,然后乙再做出行动的博弈。因为在这个例子中,无法确定乙每次的策略。为了表述这种连续博弈,我们要列出乙在博弈进行期间所有的行动——尽管根据实际情况,某种行动决不会出现。和前面一样,在这个博弈中乙有两种选择,。与前面不一样的是,视甲的行动不同而定,乙有四种策略。这些策略是:

  1. 如果甲选择顶,选择左;否则,选择左
  2. 如果甲选择顶,选择左;否则,选择右
  3. 如果甲选择顶,选择右;否则,选择左
  4. 如果甲选择底,选择右;否则,选择右

右图是这个博弈的正则形式的表述方式。

一般形式[编辑]

为了用把博弈表述成正则形式,需要提供下列数据:

  • 表示参与者的有限集P,标记为{1,2,…,m}
  • 每个参与者kP里拥有有限个纯策略

 S_k = \{1, 2, \ldots, n_k\}.

一个纯策略组合是参与者策略的联合,这是一个m元组

 \vec{\sigma} = (\sigma_1, \sigma_2, \ldots,\sigma_m)

则有

 \sigma_1 \in S_1, \sigma_2 \in S_2, \ldots, \sigma_m \in S_m

我们用Σ来表示策略组合的集合

收益函数形如

 F: \Sigma \rightarrow \mathbb{R}.

其预期解释是博弈结束时给予单个参与者的奖品。相应地,为了完整地说明一个博弈,收益函数必须在参与者集 P= {1, 2, ..., m}中对每个参与者详细说明。

定义:一个正则形式的博弈的结构形如

 (P, \mathbf{S}, \mathbf{F})

这里 P = {1,2, ...,m}是参与者集合,

\mathbf{S}=  (S_1, S_2, \ldots, S_m)

是纯策略集合的一个m元组,每个纯策略对应于一个参与者,而

 \mathbf{F} = (F_1, F_2, \ldots, F_m)

是收益函数的m元组。

没有理由在前面的讨论中,把参与者数量有限或每个参与者的策略有限的博弈排除在外。因为要用到泛函分析的技巧,关于有限博弈的研究非常艰深。

参考文献[编辑]

  • D. Fudenberg and J. Tirole, Game Theory, MIT Press, 1991.
  • R. D. Luce and H. Raiffa, Games and Decisions, Dover Publications, 1989.
  • J. Weibull, Evolutionary Game Theory, MIT Press, 1996
  • J. von Neumann and O. Morgenstern, Theory of games and Economic Behavior, John Wiley Science Editions, 1964. This book was initially published by Princeton University Press in 1944.

外部链接[编辑]