正則素數

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未解決的数学問題是否有無窮個正則素數,且其分布密度為e^{-1/2} Question mark2.svg

數論中,正則素數的概念首先由恩斯特·庫默爾在1847年為了處理費馬最後定理而引入。它具有許多種等價的定義方式。其中之一是:

定義. 素數 p 是正則素數,若且唯若 p 不整除分圓域 \mathbb{Q}(\zeta_p)類數

此定義美則美矣,卻不容易計算。另一種定義方式是:素數 p 是正則素數,若且唯若 p 不整除伯努利數 B_k \quad (2 \leq k \leq p-3, 2|k) 的分子。

頭幾個正則素數為:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, ... (OEIS中的数列A007703

庫默爾證明了:當 p 是正則素數時,x^p + y^p = z^p 不存在非零整數解。最小的10個非正則素數是 375967101103131149157233257OEIS中的数列A000928)。 已知存在無窮多個非正則素數,而迄今仍未知是否存在無窮多個正則素數。

文獻[编辑]

  • Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section D2.