正則變換生成函數

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哈密頓力學裏,當計算正則變換時,生成函數扮演的角色,好似在兩組正則坐標 (\mathbf{q},\ \mathbf{p})(\mathbf{Q},\ \mathbf{P}) 之間的一座橋。為了要保證正則變換的正確性 ,採取一種間接的方法,稱為生成函數方法。這兩組變數必須符合方程式

\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}=\mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}+\frac{dG}{dt}(1)

其中,\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N) 是舊廣義坐標\mathbf{p}=(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_N) 是舊廣義動量\mathbf{Q}=(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N) 是新廣義坐標,\mathbf{P}=(P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N) 是新廣義動量,\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t),\ \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) 分別為舊哈密頓量與新哈密頓量,G(-,\ -,\ t)生成函數t 是時間。

生成函數 G 的參數,除了時間以外,一半是舊的正則坐標;另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定,一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種不同的變換,從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換 (\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P}) 保證是正則變換。

生成函數列表[编辑]

生成函數 導數
G= G_1(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t) \mathbf{p}=~~\frac{\partial G_1}{\partial \mathbf{q}}\ ,\qquad \mathbf{P}= - \frac{\partial G_1}{\partial \mathbf{Q}}
G= G_2(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) - \mathbf{Q}\mathbf{P} \mathbf{p}=~~\frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{q}}\ ,\qquad \mathbf{Q}=~~ \frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{P}}
G= G_3(\mathbf{p},\ \mathbf{Q},\ t) + \mathbf{q}\mathbf{p} \mathbf{q}= - \frac{\partial G_3}{\partial \mathbf{p}}\ ,\qquad \mathbf{P}= - \frac{\partial G_3}{\partial \mathbf{Q}}
G= G_4(\mathbf{p},\ \mathbf{P},\ t) + \mathbf{q}\mathbf{p} - \mathbf{Q}\mathbf{P} \mathbf{q}= - \frac{\partial G_4}{\partial \mathbf{p}}\ ,\qquad \mathbf{Q}=~~\frac{\partial G_4}{\partial \mathbf{P}}

第一型生成函數[编辑]

第一型生成函數 G_{1} 只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關,

G=G_{1}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)

代入方程式 (1) 。展開生成函數對於時間的全導數

\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}}  - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) =  
\mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{1}}{\partial t} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} \cdot \dot{\mathbf{Q}}

新廣義坐標 \mathbf{Q} 和舊廣義坐標 \mathbf{q} 都是自變量,其對於時間的全導數 \dot{\mathbf{Q}}\dot{\mathbf{q}} 互相無關,所以,以下 2N+1 個方程式都必須成立:

\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}}(2)
\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}}(3)
\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{1}}{\partial t}(4)

2N+1 個方程式設定了變換 (\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P}) ,步驟如下:

第一組的 N 個方程式 (2) ,設定了 \mathbf{p}N 個函數方程式

\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)

在理想情況下,這些方程式可以逆算出 \mathbf{Q}N 個函數方程式

\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)(5)

第二組的 N 個方程式 (3) ,設定了 \mathbf{P}N 個函數方程式

\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)

代入函數方程式 (5) ,可以算出 \mathbf{P}N 個函數方程式

\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)(6)

2N 個函數方程式 (5) 、(6) ,可以逆算出 2N 個函數方程式

\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)
\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)

代入新哈密頓量 \mathcal{K} 的方程式 (4) ,可以得到

\mathcal{K} =\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)

第二型生成函數[编辑]

第二型生成函數 G_{2} 只跟舊廣義坐標 \mathbf{q} 、新廣義動量 \mathbf{P} 有關 :

G \equiv - \mathbf{Q}\cdot\mathbf{P}+G_{2}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)

代入方程式 (1) 。展開生成函數隨時間的全導數:

\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}}  - \mathcal{H}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) =  
-\mathbf{Q} \cdot \dot{\mathbf{P}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{2}}{\partial t} + \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} \cdot \dot{\mathbf{P}}

由於舊廣義坐標 \mathbf{q} 與新廣義動量 \mathbf{P} 必須彼此無關,以下 2N+1 方程式必須成立:

\mathbf{p} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}}(7) 
\mathbf{Q} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}}(8)
\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{2}}{\partial t}(9)

2N+1 個方程式設定了變換 (\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P}) 。步驟如下:

第一組的 N 個方程式 (7) ,設定了 \mathbf{p} 的函數方程式

\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)

在理想情況下,這些方程式可以逆算出 \mathbf{P} 的函數方程式

\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)(10)

第二組的 N 個方程式 (8) ,設定了的函數方程式

\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)

代入函數方程式 (10) ,可以算出 \mathbf{Q} 函數方程式

\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)(11)

由函數方程式 (10) 、(11) ,可以算出函數方程式

\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)
\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)

代入新哈密頓量的方程式 (9) ,則可得到

\mathcal{K} =\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)

第三型生成函數[编辑]

第三型生成函數只跟舊廣義動量 \mathbf{p} 、新廣義坐標 \mathbf{Q} 有關:

G \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} + G_{3}(\mathbf{p},\ \mathbf{Q},\ t)

以下 2N+1 方程式設定了變換 (\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})

\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{p}}
\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{Q}}
\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{3}}{\partial t}

第四型生成函數[编辑]

第四型生成函數 G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t) 只跟舊廣義動量 \mathbf{p} 、新廣義動量 \mathbf{P} 有關:

G \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)

以下 2N+1 方程式設定了變換 (\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})

\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{p}}
\mathbf{Q} = ~~\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{P}}
\mathcal{K}= \mathcal{H} + \frac{\partial G_{4}}{\partial t}

實例 1[编辑]

第一型生成函數有一個特別簡易案例:

G_{1} \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{Q}

方程式 (2) ,(3) ,(4) 的答案分別為

\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{Q}
\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} = -\mathbf{q}
\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)

實例 2[编辑]

再擧一個涉及第二型生成函數,比較複雜的例子。讓

G_{2} \equiv \mathbf{g}(\mathbf{q};\ t) \cdot \mathbf{P}

這裏, \mathbf{g} 是一組 N 個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換,

\mathbf{Q}=\frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} =\mathbf{g}(\mathbf{q};\ t)

實例 3[编辑]

有時候,可以將一個給定的哈密頓量,變成一個很像諧振子的哈密頓量,

\mathcal{H} = aP^2 + b Q^2

例如,假若哈密頓量為

\mathcal{H}= \frac{1}{2q^2} + \frac{p^2 q^4}{2}(12)

這裏,p 是廣義動量,q 是廣義坐標。

一個優良的正則變換選擇是

P = pq^2(13)
Q = - \frac{1}{q}(14)

代入方程式 (12) ,新哈密頓量的形式與諧振子的哈密頓量型式相同:

\mathcal{H} = \frac{Q^2}{2} + \frac{P^2}{2}

這變換用的是第三型生成函數 G_3(p,\ Q) ;其對於 Q 的導數是

\frac{\partial G_3}{\partial Q}= - P

代入方程式 (13) 、(14) ,

\frac{\partial G_3}{\partial Q}= - \frac{p}{Q^2}

對於 Q 積分,可以得到生成函數 G_3

G_3(p,\ Q) = \frac{p}{Q}

最後,檢查答案是否正確:

q = - \frac{\partial G_3}{\partial p} = \frac{-1}{Q}

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]