正十二面體

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
正十二面體
正十二面體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別 正多面体
12
30
頂點 20
歐拉特徵數 F=12, E=30, V=20 (χ=2)
面的種類 正五邊形
面的佈局英语Face configuration 12{5}
頂點圖英语Vertex figure 5.5.5
施萊夫利符號 {5,3}
對稱群 3
參考索引 U23, C26, W5
對偶 正二十面體
二面角 116.56505° = arccos(-1/√5)
特性 多面體
Dodecahedron vertfig.png
5.5.5
(頂點圖)
Dodecahedron flat.svg
(展開圖)

正十二面體是由12正五邊形所組成的正多面體,它共有20个顶点、30条棱、160条对角线,被施莱夫利符号{5,3}所表示,与正二十面体互成对偶。它是一种只具有正四面体对称性英语tetrahedral symmetry五角十二面体的特殊形式,五角十二面体的另一种特殊形式是具有正八面体对称性英语Octahedral Symmetry卡塔兰多面体菱形十二面体,它(加上所有其它的五角十二面体)都与正十二面体在拓扑上等价。正十二面體还是截顶五方偏方面體的特例。其四維類比為正一百二十胞體

Uniform polyhedron-53-t0.png
十二面體
Dodekaeder-Animation.gif
正十二面體是正二十面體對偶多面體

性质[编辑]

面的图形:正五边形
面的数目:12
边的数目:30
顶点数目:20
二面角角度:\boldsymbol{\theta} = \arccos \left(-\frac {1}{\sqrt{5}}\right) = 2\arctan \varphi \approx 116.5650512^\circ
如果正十二面体棱长为a:
表面积:A = 3\sqrt{25+10\sqrt{5}} a^2 \approx 20.645728807a^2
体积:V = \frac{1}{4} (15+7\sqrt{5}) a^3 \approx 7.6631189606a^3
外接球半径:r_u = a\frac{\sqrt{3}}{4} \left(1 + \sqrt{5}\right) \approx 1.401258538 \cdot a
内切球半径:r_i = a\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{2} +\frac{11}{10}\sqrt{5}} \approx 1.113516364 \cdot a
中交球半径:r_m = a\frac{1}{4} \left(3 +\sqrt{5}\right) \approx 1.309016994 \cdot a

  • 我们亦可以将上述三式写作:
外接球半径:r_u = a\, \frac{\sqrt{3}}{2} \varphi
内切球半径:r_i = a\, \frac{\varphi^2}{2 \sqrt{3-\varphi}}
中交球半径:r_m = a\, \frac{\varphi^2}{2}
(在这里φ黄金分割数φ = 1+√5/2
  • 注意到棱长为a的正十二面体的外接球同样外接于棱长为φa的立方体,并且其内切球半径(也即面心距)等于棱长为φa的正五边形的边心距

对偶多面体:正二十面体

坐标系[编辑]

顶点坐标:
  橙色的顶点位于(±1, ±1, ±1),形成了其一个内接立方体(虚线所示)。
  绿色的顶点位于(0, ±1/φ, ±φ),形成了yz平面上的一个黄金矩形
  蓝色的顶点位于(±1/φ, ±φ, 0),形成了xy平面上的一个黄金矩形
  粉色的顶点位于(±φ, 0, ±1/φ),形成了xz平面上的一个黄金矩形
相邻顶点间的距离是2/φ,顶点到原点的距离是√3.
φ = (1 + √5) / 2是黄金分割数。

如果我们以正十二面体的形心为原点建立三维直角坐标系,那么其20个顶点可被描述为:
(0,±1/φ,±φ)
(±1/φ,±φ,0)
(±φ,0,±1/φ)
(±1,±1,±1)
其中φ = (1+√5)/2,是黃金分割數,也被写作τ,约等于1.618。
该正十二面体棱长为2/φ=√5–1。其内接球半径正好为√3。

二维投影和对称性[编辑]

正十二面体有两种特殊的正交投影,分别正对着其一个顶点和一个正五边形面,对应着A2和H2考克斯特平面英语Coxeter plane

正交投影
正对于 顶点
图像 Dodecahedron t0 A2.png Dodecahedron t0 e.png Dodecahedron t0 H3.png
投影
对称性
[[3]] = [6] [2] [[5]] = [10]

透视投影中,如果如果投影中心正在正十二面体外接球正对其一面的一点,则你能得到其施莱格尔图像英语schlegel diagram,我们亦可以将其视为球面多面体英语Spherical polyhedron而使用球极投影。这些方法也被用于可视化其四维类比正一百二十胞体,一个由120个全等的正十二面体组成的四维凸正多胞体

投影 正交投影 透视投影
施莱格尔图像英语schlegel diagram 球极投影
正十二面体 Dodecahedron t0 H3.png Dodecahedron schlegel diagram.png Dodecahedron stereographic projection.png
正120胞体 120-cell t0 H3.svg Schlegel wireframe 120-cell.png Stereographic polytope 120cell faces.png

几何关联[编辑]

与其对偶——正二十面体的关系[编辑]

  • 当正十二面体和正二十面体内接于同一球时,尽管正二十面体有更多的面,但正十二面体占据球的体积(66.49%)要多于正二十面体占据的球的体积(60.54%),这一点与二维不同。
  • 棱长相同为1的正十二面体的体积(7.663...)是正二十面体体积(2.181...)的三倍半多。

相关多面体[编辑]

正十二面体在拓扑上与一系列三阶正镶嵌(顶点图英语vertex figuren3)有关:

多面体 欧式镶嵌 双曲镶嵌
Spherical trigonal hosohedron.png
{2,3}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-33-t0.png
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-43-t0.png
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-53-t0.png
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-63-t0.png
{6,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 237-1.png
{7,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 238-1.png
{8,3}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
... H2 tiling 23i-1.png
{∞,3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

正十二面体可以通过不同类型的截取操作来得到一系列不同的半正多面体及其对偶,正二十面体,构成了正二十面体家族:

正二十面体家族半正多面体
對稱群: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-53-t0.png Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform polyhedron-53-t1.png Uniform polyhedron-53-t12.png Uniform polyhedron-53-t2.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform polyhedron-53-s012.png
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面体对偶
CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 5.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Icosahedron.svg Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.svg Pentakisdodecahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

顶点分布[编辑]

正十二面体与4个星形半正多面体英语nonconvex uniform polyhedron和上述3个复合半正多面体有同样的顶点分布:

Great stellated dodecahedron.png
大星形十二面体
Small ditrigonal icosidodecahedron.png
小双三斜三十二面体
Ditrigonal dodecadodecahedron.png
双三斜二十四面体
Great ditrigonal icosidodecahedron.png
大双三斜三十二面体
Compound of five cubes.png
五复合立方体
Compound of five tetrahedra.png
五复合四面体
Compound of ten tetrahedra.png
十复合四面体

星形化体[编辑]

正十二面体的3个星形化体英语stellation都是星形正多面体(开普勒-普索多面体):

0 1 2 3
星形化体 Dodecahedron.png
正十二面体
Small stellated dodecahedron.png
小星形十二面体
Great dodecahedron.png
大十二面体
Great stellated dodecahedron.png
大星形十二面体
表面图形 Zeroth stellation of dodecahedron facets.svg First stellation of dodecahedron facets.svg Second stellation of dodecahedron facets.svg Third stellation of dodecahedron facets.svg

相关数学问题[编辑]

  • 哈密頓路徑的理論就是源自一個和正十二面體有關的問題:試求一條路徑,沿正十二面體的棱經過它所有的頂點。

真實世界[编辑]

  • 因為一年有12個月,正十二面體正好用來製作月曆。[1]
  • Pariacoto virus的形狀結構是正十二面體。
  • 英國匈牙利,至到意大利東部等地,找到過百個形狀接近十二面體、以或石頭製造的空心物件。它們被稱為Dodecaeder,用途不明。[2][3]
  • 五魔方(Megaminx)就是正十二面体制作出来的魔方。
正十二面烷

化學:

參考文獻[编辑]

  1. ^ 12 sided calendar ii.uib.no
  2. ^ Roman Dodecahedra georgehart.com
  3. ^ Dodecaeder museums.ncl.ac.uk
  4. ^ Dodecahedrane—The chemical transliteration of Plato's universe pubmedcentral.nih.gov
  1. MathWorldDodecahedron 的资料,作者:埃里克·韦斯坦因
  2. MathWorldElongated Dodecahedron 的资料,作者:埃里克·韦斯坦因
  3. Richard Klitzing, 3D convex uniform polyhedra, o3o5x – doe
  4. Editable printable net of a dodecahedron with interactive 3D view
  5. The Uniform Polyhedra
  6. Origami Polyhedra – Models made with Modular Origami
  7. Dodecahedron – 3-d model that works in your browser
  8. Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
    1. Regular dodecahedron regular
    2. Rhombic dodecahedron quasiregular
    3. Decagonal prism vertex-transitive
    4. Pentagonal antiprism vertex-transitive
    5. Hexagonal dipyramid face-transitive
    6. Triakis tetrahedron face-transitive
    7. hexagonal trapezohedron face-transitive
    8. Pentagonal cupola regular faces
  9. K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra
  10. Dodecahedron 3D Visualization
  11. Stella: Polyhedron Navigator: Software used to create some of the images on this page.