正合函子

在範疇論中，正合函子（或譯作恰當函子）是保存有限極限的函子。在阿貝爾範疇中，這就相當於保存正合序列的函子。

阿貝爾範疇間的正合函子

設 $\mathcal{C}, \mathcal{C}'$ 為阿貝爾範疇，$F: \mathcal{C} \to \mathcal{C}'$ 為加法函子。若對每個正合序列

$\cdots \longrightarrow X_i \longrightarrow X_{i-1} \longrightarrow \cdots$

取 $F$ 後得到的序列

$\cdots \longrightarrow F(X_i) \longrightarrow F(X_{i-1}) \longrightarrow \cdots$

仍為正合序列，則稱 $F$ 為正合函子。

由於正合序列總能拆解為短正合序列，在定義中僅須考慮短正合序列即可。

此外，若對每個短正合序列 $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$，其像截去尾端零對象後 $0 \to F(X') \to F(X) \to F(X'')$ 為正合序列，則稱 $F$ 是左正合函子；類似地，若 $F(X') \to F(X) \to F(X'') \to 0$ 為正合序列，則稱 $F$ 是右正合函子。正合性等價於左正合性＋右正合性。

一般範疇中的正合函子

考慮一個函子 $F: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}'$。

• 若$\mathcal{C}$裡存在任意的有限射影極限，且$F$與有限射影極限交換（即：$F(\varprojlim_i X_i) \stackrel{\sim}{\to} \varprojlim_i F(X_i)$），則稱$F$為左正合。
• 若$\mathcal{C}$裡存在任意的有限歸納極限，且$F$與有限歸納極限交換（即：$\varinjlim_i F(X_i) \stackrel{\sim}{\to} F(\varinjlim_i X_i)$），則稱$F$為右正合。
• 若上述條件同時被滿足，則稱$F$為正合。

在阿貝爾範疇中，由於任意有限射影（或歸納）極限可以由核（或上核）與有限積（或上積）生成，此時的定義遂回歸到正合序列的定義。

例子

• 根據極限的泛性質，$\mathrm{Hom}(-,-)$函子無論對哪個變數都是左正合的，這是左正合函子的基本例子。
• 設$(F,G)$是一對伴隨函子。若$\mathcal{C}$存在任意有限歸納極限，則$F$右正合；若存在任意有限射影極限，$G$左正合。此法可建立許多函子的正合性。
• 設 $X$ 為拓撲空間，阿貝爾群數學範疇上的整體截面函子 $X \mapsto F(X)$ 是左正合函子。
• 設 $R$ 為環，$T$ 為右 $R$-模，則左 $R$-模範疇上的張量積函子 $T \otimes_R -$ 是右正合函子。
• 設 $\mathcal{A},\; \mathcal{B}$ 為兩個阿貝爾範疇，考慮函子範疇 $\mathcal{B}^\mathcal{A}$，固定一對象 $A \in \mathcal{A}$，對 $A$ 的「求值」是正合函子。

文獻

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490