正合序列

在數學中，正合序列、正合列或譯作恰當序列於同調代數中居於核心地位，其中特別重要的一類是短正合序列。

定義

一個由某類適宜的範疇（例如阿貝爾群、向量空間或 模，詳如後述）中的對象與態射構成的序列

$A'\longrightarrow A\longrightarrow A''$

被稱作在 $A$處正合，若且唯若

$\mathrm{Im}(A'\to A)=\mathrm{Ker}(A\to A'')$

一般而言，該範疇中的序列

$A_1\longrightarrow A_2\longrightarrow A_3\longrightarrow \cdots \longrightarrow A_{n-1} \longrightarrow A_n$

被稱作是正合的，若且唯若它在 $A_2$、$A_3$、$\cdots A_{n-1}$ 處正合。類似定義可以推廣至沒有端點的無窮序列。

為了探討序列的正合性，範疇中必須能構造一個態射的像 $\mathrm{Im}$ 與核 $\mathrm{Ker}$，並確保這兩種構造具備在阿貝爾群、向量空間或模的情形一樣的範疇論性質。處理這類問題的框架是阿貝爾範疇，以下考慮的範疇如未說明皆為阿貝爾範疇。

例子

• 序列

$0\longrightarrow A'\longrightarrow A$

正合的充要條件是 $A'\to A$ 是單射。

• 序列

$A\longrightarrow A''\longrightarrow0$

正合的充要條件是 $A\to A''$ 是滿射。

• 對任何態射 $f\colon A\to B$，以下序列都是正合的

$0\longrightarrow\mathrm{Ker}\,f\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow\mathrm{Coker}\,f\longrightarrow0$

注意：在群的範疇中，必須要求 $f$ 在 $B$ 中的像是正規子群才能考慮 $\mathrm{Coker}(f)$，故上述正合性對一般範疇不成立。

短正合序列

一個具下述形式的正合序列

$0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow0$

稱作短正合序列。

分裂短正合序列

若以下任一等價條件成立，則稱短正合序列 $0\longrightarrow A' \stackrel{f}{\longrightarrow} A \stackrel{g}{\longrightarrow} A'' \longrightarrow0$ 分裂：

• $g$ 有截面（即存在 $s: A'' \rightarrow A$ 使得 $g \circ s = \mathrm{id}_{A''}$）
• $f$ 有縮回（即存在 $r: A \rightarrow A'$ 使得 $r \circ f = \mathrm{id}_{A'}$）
• 該短正合序列同構（在鏈複形的意義下）於

$0\longrightarrow A'\longrightarrow A'\oplus A''\longrightarrow A''\longrightarrow0$

其中的箭頭是直和的典範映射。

對於群的範疇，前兩個條件不一定蘊含第三個，它們只能保證 $A$ 可以表為 $A'$ 與 $A''$ 的半直積；例如我們可考慮群同態

$1 \longrightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \longrightarrow S_3 \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \longrightarrow 0$

其中 $S_3$ 是 3 次對稱群。$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \rightarrow S_3$ 由 $n\; \mathrm{mod}\; 3 \longmapsto (123)^n$ 給出，它的像是交代群 $A_3$，商為 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$；但 $S_3$ 無法分解成 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。

將正合序列拆解為短正合序列

正合序列可以透過核 Ker 與上核 Coker 的構造拆解為短正合序列，構造方式如下：考慮一正合序列

$\cdots \longrightarrow A_{n-1} \longrightarrow A_n \longrightarrow A_{n+1} \longrightarrow \cdots$

設

$Z_n:=\mathrm{Ker}(A_n\to A_{n+1}) = \mathrm{Im}(A_{n-1}\to A_n)=\mathrm{Coker}(A_{n-2}\to A_{n-1})$

其中 $2 \leq n \leq 4$，這就給出了一個短正合序列

$0\longrightarrow Z_n\longrightarrow A_n\longrightarrow Z_{n+1}\longrightarrow 0$

一般而言，設 $A_\bullet$ 為鏈複形，我們同樣定義 $Z_n :=\mathrm{Ker}(A_n\to A_{n+1})$ ；此時鏈複形的正合性等價於所有短鏈 $0 \rightarrow Z_n\rightarrow A_n\rightarrow Z_{n+1}\rightarrow 0$ 的正合性。

推廣

給定一個短正合序列

$0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow0$

有時也稱 $A$ 為 $A''$ 經由 $A'$ 的擴張。

詳閱條目Ext函子與群上同調。

長正合序列

若有鏈複形的短正合序列：

$0 \longrightarrow C'_\bullet \longrightarrow C_\bullet \longrightarrow C''_\bullet \longrightarrow 0$

反覆運用蛇引理，可以導出正合序列

$\cdots \longrightarrow H_{n+1}(C''_\bullet) \longrightarrow H_n(C'_\bullet) \longrightarrow H_n(C_\bullet) \longrightarrow H_n(C''_\bullet) \longrightarrow H_{n-1}(C'_\bullet) \longrightarrow \cdots$

對上鏈複形的上同調亦同，此時連接同態的方向是 $H^n(C''^\bullet) \to H^{n+1}(C'^\bullet)$。這類序列稱作長正合序列，它是同調代數最重要的技術之一。在代數拓撲中，長正合序列與相對同調群和 Mayer-Vietoris 序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。

參見

• 正合函子
• 鏈複形