正圖形列表

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此頁面列出了所有的歐幾里得空間、雙曲空間和球形空間的正圖形正多胞形。施萊夫利符號可以描述每一個正圖形正多胞形,他被廣泛使用如下面的每一個緊湊的參考名稱。

正圖形正多胞形可由其維度分類,也可以分成凸、非凸(或凹)和無窮等形式。非凸形式(或凹形式)使用與凸形式相同的頂點,但面(或邊)有相交。無限的形式則是在一較低維的歐幾里得空間中密鋪(鑲嵌或堆砌)。

無限的形式可以擴展到密鋪雙曲空間。雙曲空間是和正常的空間有相同的規模,但平行線可在有限距離內相交。這使得頂點值可以存在負角度的缺陷,例如製作一個由個正三角形組成的頂點,它們可以被平放。它不能在普通平面上完成的,但可以在一個雙曲平面上構造。

概觀[编辑]

此表顯示正圖形正多胞形通過維度的匯總。

維度 非凸
歐幾里得
密鋪

雙曲空間
密鋪
非凸
雙曲空間
密鋪
雙曲密鋪
無限多胞
且/或 頂點值
抽象
多胞形
0 1 0 0 0 0 0 1
1 1 線段 0 1 0 0 0 1
2 正多邊形 星型多邊形 1 1 0 0
3 5 正多面體 4 Kepler–Poinsot solids 3 鑲嵌 0
4 6 四维凸正多胞体 10 Schläfli–Hess polychora 1 堆砌 4 0 11
5 3 五維凸正多胞體 0 3 四維堆砌 5 4 2
6 3 六維凸正多胞體 0 1 五維堆砌 0 0 5
7+ 3 0 1 0 0 0

一維正圖形[编辑]

二維正圖形[编辑]

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名稱 正三角形
(2-單體)
(equit)
正方形
(2-正軸形)
(2-立方形)
(square)
正五邊形
(pe)
正六邊形
(he)
正七邊形
(ha)
正八邊形
(oc)
施萊夫利符號 {3} {4} {5} {6} {7} {8}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
圖像 Regular triangle.svg Regular quadrilateral.svg Regular pentagon.svg Regular hexagon.svg Regular heptagon.svg Regular octagon.svg
名稱 正九邊形
(en)
正十邊形
(de)
正十一邊形 正十二邊形 正十三邊形 正十四邊形
施萊夫利 {9} {10} {11} {12} {13} {14}
考克—迪肯 CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 12.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 13.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 14.pngCDel node.png
圖像 Regular nonagon.svg Regular decagon.svg Regular hendecagon.svg Regular dodecagon.svg Regular tridecagon.svg Regular tetradecagon.svg
名稱 正十五邊形 正十六邊形 正十七邊形 正十八邊形 正十九邊形 正二十邊形 ...正p邊形
施萊夫利 {15} {16} {17} {18} {19} {20} {p}
考克—迪肯 CDel node 1.pngCDel 15.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 16.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 17.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 18.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 19.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 20.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png
圖像 Regular pentadecagon.svg Regular hexadecagon.svg Regular heptadecagon.svg Regular octadecagon.svg Regular enneadecagon.svg Regular icosagon.svg

退化 (圓形)[编辑]

名稱 正一邊形 正二邊形
施萊夫利符號 {1} {2}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node.png CDel node 1.png
圖像 Henagon.svg Digon.svg

非凸[编辑]

名稱 五角星 七角星 八角星 九角星 十角星 ...n角星
施萊夫利符號 {5/2}
(star)
{7/2}
(hag)
{7/3}
(gahg)
{8/3}
(og)
{9/2}
(eng)
{9/4}
(geng)
{10/3}
(dag)
{p/q}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel dq.pngCDel node.png
圖像 Star polygon 5-2.svg Star polygon 7-2.svg Star polygon 7-3.svg Star polygon 8-3.svg Star polygon 9-2.svg Star polygon 9-4.svg Star polygon 10-3.svg  

密鋪[编辑]

對應的歐幾里得密鋪只有一種,密鋪於一維歐幾里得空間,即直線,即正無限邊形。其施萊夫利符號以{∞}表示、考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagramCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png表示。

該鑲嵌是由一維正圖形「線段」(即二維二邊形)完成一維歐幾里得空間的密鋪。

...Regular apeirogon.png...

雙曲密鋪[编辑]

對應的雙曲密鋪只有一種,即由一維正圖形「線段」完成一維羅氏空間(即二維雙曲線)的密鋪,類似於無限邊形,稱為超無限邊形,但又因為它是發散的,因此又稱為偽多邊形。在施萊夫利符號以{iπ/λ}表示、考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagramCDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.png表示。

Regular Pseudogon.png

三維正圖形[编辑]

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Name 施萊夫利符號
{p,q}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
圖像
(透視圖)
圖像
(立體圖)
圖像
(球面投影)
英语Face (geometry)
{p}
頂點
{q}
對稱群 對偶
正四面體
(3-單體)
(三角錐)
(tet)
{3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Tetrahedron.svg Tetrahedron.png Uniform tiling 332-t0-1-.png 4
{3}
6 4
{3}
Td (自身對偶)
正方體
(3-立方形)
(正六面體)
(四角柱)
{4,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Hexahedron.svg Hexahedron.png Uniform tiling 432-t0.png 6
{4}
12 8
{3}
Oh 正八面體
正八面體
(3-正軸體)
(反三稜柱)
(oct)
{3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png Octahedron.svg Octahedron.png Uniform tiling 432-t2.png 8
{3}
12 6
{4}
Oh 立方體
正十二面體
(doe)
{5,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png POV-Ray-Dodecahedron.svg Dodecahedron.png Uniform tiling 532-t0.png 12
{5}
30 20
{3}
Ih 正二十面體
正二十面體
(ike)
{3,5} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png Icosahedron.svg Icosahedron.png Uniform tiling 532-t2.png 20
{3}
30 12
{5}
Ih 正十二面體

退化 (球面)[编辑]

In spherical geometry, the hosohedra {2,n}, dihedra {n,2} and henagonal henahedron {1,1} can be considered regular polyhedra (tilings of the sphere).

Some include:

Name Schläfli
{p,q}
Coxeter
diagram
Image
(sphere)
Faces
{p}
Edges Vertices
{q}
Symmetry Dual
Henagonal henahedron {1,1} CDel node.png Spherical henagonal henahedron.png 1
{1}
0 1
{1}
C1
(*1)
Self
Henagonal dihedron {1,2} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png Hengonal dihedron.png 2
{1}
1 1
{2}
C1v
(*22)
Henagonal hosohedron
Henagonal hosohedron {2,1} CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Henagonal hosohedron.png 1
{2}
1 2
{1}
C1v
(*22)
Henagonal dihedron
Digonal dihedron
Digonal hosohedron
{2,2} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Digonal dihedron.png 2
{2}
2 2
{2}
D2h
(*222)
Self
Trigonal hosohedron {2,3} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Trigonal hosohedron.png 3
{2}
3 2
{3}
D3h
(*322)
Trigonal dihedron
Trigonal dihedron {3,2} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Trigonal dihedron.png 2
{3}
3 3
{2}
D3h
(*322)
Trigonal hosohedron
Hexagonal hosohedron {2,6} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png Hexagonal hosohedron.png 6
{2}
6 2
{6}
D6h
(*622)
Hexagonal dihedron
Hexagonal dihedron {6,2} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Hexagonal dihedron.png 2
{6}
6 6
{2}
D6h
(*622)
Hexagonal hosohedron

四維正圖形[编辑]

五維正圖形[编辑]

六維正圖形[编辑]

七維正圖形[编辑]

七維以上正圖形[编辑]

正無窮多胞形[编辑]

二維[编辑]

三維[编辑]

四維以上[编辑]

抽象多胞形[编辑]

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs, pp. 294–296)
  • Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V, pp. 212–213) [1] PDF
  • D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes

外部連結[编辑]