正定函數

在數學上，正定函數一詞可以用來表達許多不同的概念。

在動力系統中

一個實值、連續可微的函數f在原點附近的區域D為正定函數的條件是

• $f(0)=0$
• $f(x)>0$ 對於所有不為零的$x\in D$

若上式中的不等式改為小於，則函數f為負定函數。若以上不等式改為 $\geq$ 或 $\leq$，則函數f為半正定函數或半負定函數。

在複變分析及統計中

令$\mathbb {R}$是實數集合，$\mathbb {C}$為複數集合。

函數$f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$稱為半正定若針對任意實數x₁, …, x_n the n × n 矩陣

$A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})$

為半正定矩陣。

依照定義，半正定矩陣（像是$A$）會是埃尔米特矩阵，因此f(−x)是f(x))的共轭复数。 若上述的不等號方向相反，函數則為半負定函數，若不等號改為大於或小於，函數則為正定函數或是負定函數。

參考

• Z. Sasvári, Positive Definite and Definitizable Functions, Akademie Verlag, 1994