正定矩阵

在线性代数裡，正定矩阵是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质類似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（複域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

定义

一个n × n的实对称矩阵 M 是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有 z^TMz > 0。其中z^T 表示z的转置。

对于复数的情况，定义则为：一个n × n的埃尔米特矩阵 M 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z，都有z^*Mz > 0。其中z^* 表示z的共轭转置。由于 M 是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的复向量z，z^*Mz必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。

正定阵的判别

对n × n 的埃尔米特矩阵 M，下列性质与“M为正定矩阵”等价：

1.	矩阵$M$的所有的特征值$\lambda_i$都是正的。根据谱定理，M必然与一个实对角矩阵D相似（也就是说$M = P^{-1}DP$，其中P是幺正矩阵，或者说M在某 个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，M是正定阵当且仅当相应的D的对角线上元素都是正的。
2.	半双线性形式 $\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}$ 定义了一个Cn上的内积。实际上，所有Cn上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。
3.	M是n个线性无关的k维向量$\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^k$ 的Gram矩阵，其中的k为某个正整数。更精确地说，M定义为： $M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{*} \textbf{x}_j.$ 换句话说，M具有$A^*A$的形式，其中A不一定是方阵，但需要是单射的。
4.	M的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式： $M$左上角1× 1的矩阵 $M$左上角2× 2矩阵 ... $M$自身。 对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子： $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
5.	存在唯一的下三角矩阵 $L$，其主对角线上的元素全是正的，使得： $M=L L^*$. 其中$L^*$是$L$的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。

对于实对称矩阵，只需将上述性质中的$\mathbb{C}^n$ 改为 $\mathbb{R}^n$，将“共轭转置”改为“转置”就可以了。

二次型

由以上的第二个等价条件，可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件：用 $\mathbb{K}$ 代表$\mathbb{C}$ 或 $\mathbb{R}$，设 $\mathbb{V}$ 是 $\mathbb{K}$ 上的一个向量空间。一个埃尔米特型：

$B : V \times V \rightarrow K$

是一个双线性映射，使得B(x, y)总是B(y, x)的共轭。这样的一个映射B是正定的当且仅当对 $\mathbb{V}$ 中所有的非零向量x，都有B(x, x) > 0。

负定、半定及不定矩阵

与正定矩阵相对应的，一个n × n的埃尔米特矩阵$M$是负定矩阵当且仅当对所有不为零的 $x \in \mathbb{R}^n$（或$x \in \mathbb{C}^n$），都有：

$x^{*} M x < 0\,$

$M$是半正定矩阵当且仅当对所有不为零的 $x \in \mathbb{R}^n$（或$x \in \mathbb{C}^n$），都有：

$x^{*} M x \geq 0$

$M$是半负定矩阵当且仅当对所有不为零的 $x \in \mathbb{R}^n$（或$x \in \mathbb{C}^n$），都有：

$x^{*} M x \leq 0$

可以看出，上一节中正定阵的等价性质1只需略作相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当M是半正定时，相应的Gram矩阵不必由线性无关的向量组成。对任意矩阵$A$，A^*A必然是半正定的，并有rank($A$) = rank(A^*A)（两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作M = A^*A，这就是Cholesky分解。

一个埃尔米特矩阵M是负定矩阵当且仅当M的所有奇数阶顺序主子式小于0，所有偶数阶顺序主子式大于0。当M是负定矩阵时，M的逆矩阵也是负定的。

如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵。

相关性质

若$M$为半正定阵，可以写作$M \geq 0$。如果$M$是正定阵，可以写作$M > 0$。这个记法来自泛函分析，其中的正定阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵，$M$、$N$，$M\geq N$当且仅当$M-N \geq 0$。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义 $M>N$。

1.	每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果 $M \geq N > 0$ 那么 $N^{-1} \geq M^{-1} > 0$。
2.	如果$M$是正定阵，$r > 0$为正实数，那么 $r M$ 也是正定阵。 如果 $M$、$N$ 是正定阵，那么和$M + N$、乘积 $MNM$ 与 $NMN$ 都是正定的。如果 $M N = N M$，那么 $M N$ 仍是正定阵。
3.	如果$M=(m_{ij}) > 0$ 那么主对角线上的系数$m_{ii}$ 为正实数。于是有$\text{tr}(M)>0$。此外还有 $| m_{ij} | \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}.$
4.	矩阵$M$ 是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵$B>0$ 使得 $B^2 = M$。根据其唯一性可以记作$B = M^{1/2}$，称$B$ 为$M$ 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果$M > N > 0$ 那么 $M^{1/2} > N^{1/2}>0$.
5.	如果$M,N > 0$ 那么 $M\otimes N > 0$，其中 $\otimes$ 表示克罗内克乘积。
6.	对矩阵$M=(m_{ij}),N=(n_{ij})$，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为$M\circ N$，即$M\circ N_{i,j}=m_{ij} n_{ij}$，称为$M$ 与 $N$的阿达马乘积。如果$M,N>0$，那么 $M\circ N > 0$。如果 $M,N$ 为实系数矩阵，则有如下不等式成立： $\det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii}.$
7.	设$M > 0$，$N$ 为埃尔米特矩阵。如果$MN+NM \geq 0$（$MN+NM > 0$），那么$N\geq 0$（$N > 0$）。
8.	如果$M,N\geq 0$为实系数矩阵，则$\text{tr}(MN)\geq 0$。
9.	如果$M>0$为实系数矩阵，那么存在$\delta>0$ 使得$M\geq \delta I$，其中 $I$ 为单位矩阵。

非埃尔米特矩阵的情况

一个实矩阵M可能满足对所有的非零实向量x，x^TMx > 0而并不是对称矩阵。举例来说，矩阵

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

就满足这个条件。对$x = (x_1, x_2)^T$ 并且$x \ne 0$，

$\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1^2 + x_2^2 > 0 .$

一般来说，一个实系数矩阵M满足对所有非零实向量x，有x^TMx > 0，当且仅当对称矩阵 (M + M^T) / 2是正定矩阵。

对于复系数矩阵，情况可能不太一样。主要看的是怎扩展z^*Mz > 0 这一性质。要使z^*Mz 总为实数，矩阵M必须是埃尔米特矩阵。因此，若 z^*Mz 总是正实数，M必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将z^*Mz > 0 扩展为 Re(z^*Mz) > 0，则等价于(M + M^*) / 2为正定阵。

参见

• 矩阵
• 确定双线性形式
• 矩阵的平方根
• 舒尔补
• 正定核
• 正定函数
• Cholesky分解

参考来源

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).

• Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.

• 正定矩阵
• 关于对称矩阵的一些讨论