正弦定理

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正弦定理三角学中的一个定理。它指出:对于任意\triangle ABCabc分别为\angle A\angle B\angle C的对边,R\triangle ABC外接圆半径,则有

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

Law of sines proof.png

證明(一)[编辑]

做一个边长为abc的三角形,对应角分别是ABC。从角Cc边做垂线,得到一个长度为h的垂线和两个直角三角形。

很明显:

\sin A = \frac{h}{b}\; \sin B = \frac{h}{a}

因此:

h = b\,\sin A = a\,\sin B

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}

同理:

\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}

证明(二)[编辑]

作三角形ABC的外接圆,设半径为R,BC=a,∠A=a

角A为锐角时[编辑]

正弦定理1.PNG

由于∠A与∠D所对的弧都为BC,根据圆周角定理可知

\ang \rm A = \ang D

由于BD为外接圆直径,根据正弦的定义可知,

{\rm BD} = 2R ,\ \ang {\rm BCD} = {\pi \over 2}

所以

\sin D = {a \over 2R}
\qquad\sin D = \sin A

对式子进行变形可以得到

{ a\over \sin A} = 2R

角A为直角时[编辑]

正弦定理2.PNG

因为BC = a = 2R,可以得到

\sin A = \sin {\pi \over 2} = 1

所以可以证明

{a \over \sin A} = 2R

角A为钝角时[编辑]

正弦定理3.PNG

线段BD是圆的直径 根据圆内接四边形对角互补的性质

\angle \rm D = {\pi} - \ang A

所以

\qquad\sin A = \sin D

因为BD为外接圆的直径BD = 2R。根据正弦定义

{\sin A} = {\sin D} = {a \over 2R}

变形可得

{a \over \sin A} = 2R

根据以上的证明方法可以证明得到得到三角形的一条边与其对角的正弦值的比等于外接圆的直径,即 \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

运用[编辑]

三面角正弦定理[编辑]

若三面角的三个面角分别为α、β、γ,它们所对的二面角分别为A、B、C,则

\frac{\sin \alpha}{\sin A}=\frac{\sin \beta}{\sin B}=\frac{\sin \gamma}{\sin C}[1]

多边形的正弦关系[编辑]

Centred-pentagon.PNG

\frac{OA}{\sin \ang OBA}=\frac{OB}{\sin \ang OAB},\frac{OB}{\sin \ang OCB}=\frac{OC}{\sin \ang OBC},\frac{OC}{\sin \ang ODC}=\frac{OD}{\sin \ang OCD},\frac{OD}{\sin \ang OED}=\frac{OE}{\sin \ang ODE},\frac{OE}{\sin \ang OAE}=\frac{OA}{\sin \ang OEA}

\frac{\sin \ang OAB \sin \ang OBC \sin \ang OCD \sin \ang ODE \sin \ang OEA}{\sin \ang OBA \sin \ang OCB \sin \ang ODC \sin \ang OED \sin \ang OAE}=\frac{OB \cdot OC \cdot OD \cdot OE \cdot OA}{OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD \cdot OE}=1

\sin \ang OAB \sin \ang OBC \sin \ang OCD \sin \ang ODE \sin \ang OEA=\sin \ang OBA \sin \ang OCB \sin \ang ODC \sin \ang OED \sin \ang OAE

外部链接[编辑]

參阅[编辑]