正弦定理

三角学
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正弦定理是三角学中的一个定理。它指出：对于任意$\triangle ABC$，$a$、$b$、$c$分别为$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$的对边，$R$为$\triangle ABC$的外接圆半径，则有

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

證明（一）

做一个边长为a，b，c的三角形，对应角分别是A，B，C。从角C向c边做垂线，得到一个长度为h的垂线和两个直角三角形。

很明显:

$\sin A = \frac{h}{b}$ 和 $\; \sin B = \frac{h}{a}$

因此:

$h = b\,\sin A = a\,\sin B$

和

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$

同理:

$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

证明（二）

作三角形 ABC的外接圆，设半径为R，BC=a,∠A=a

角 A 为锐角时

由于∠A与∠D所对的弧都为BC，根据圆周角定理可知

$\ang \rm A = \ang D$

由于BD为外接圆直径，根据正弦的定义可知，

${\rm BD} = 2R ,\ \ang {\rm BCD} = {\pi \over 2}$

所以

$\sin D = {a \over 2R}$

$\qquad\sin D = \sin A$

对式子进行变形可以得到

${ a\over \sin A} = 2R$

角 A 为直角时

因为BC = a = 2R ，可以得到

$\sin A = \sin {\pi \over 2} = 1$

所以可以证明

${a \over \sin A} = 2R$

角 A 为钝角时

线段 BD 是圆的直径 根据圆内接四边形对角互补的性质

$\angle \rm D = {\pi} - \ang A$

所以

$\qquad\sin A = \sin D$

因为BD为外接圆的直径 BD = 2R。 根据正弦定义

${\sin A} = {\sin D} = {a \over 2R}$

变形可得

${a \over \sin A} = 2R$

根据以上的证明方法 可以证明得到得到三角形的一条边与其对角的正弦值的比等于外接圆的直径，即 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

參阅

• 余弦定理
• 正切定理
• 角平分線長公式
• 中線長公式