正矢

正矢（英文：Versine、Versed sine），在三角函数之中被定義為 $\textrm{versin} \theta = 1 - \cos \theta \,$ ， 值域在0～2之間。

相關函數

• 餘矢（英文：coversed sine、coversine），寫為$\operatorname{coversin}(\theta)$，有時亦縮寫為$\operatorname{cvs}(\theta)$。
• 半正矢（英文：haversed sine、haversine），寫為$\operatorname{haversin}(\theta)$，因半正矢公式出名，且曾用於導航術。
• 半餘矢（英文：hacoversed sine、hacoversine、cohaversine），寫為$\operatorname{hacoversin}(\theta)$。

定義

正矢	$\textrm{versin} (\theta) := 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 - \cos (\theta) \,$
餘矢	$\textrm{coversin} \theta = \textrm{versin}\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 1 - \sin \theta \,$
半正矢	$\textrm{haversin} \theta = \frac {\textrm{versin} \theta} {2} = \frac{1 - \cos \theta}{2} \,$
半餘矢	$\textrm{hacoversin} \theta = \frac {\textrm{coversin} \theta} {2} = \frac{1 - \sin \theta}{2} \,$

角 θ的所有三角函数在几何上可以依据以O點為圓心的单位圓来构造。

微分與積分

$\frac{d}{dx}\mathrm{versin}(x) = \sin{x}$	$\int\mathrm{versin}(x) \,dx = x - \sin{x} + C$
$\frac{d}{dx}\mathrm{coversin}(x) = -\cos{x}$	$\int\mathrm{coversin}(x) \,dx = x + \cos{x} + C$
$\frac{d}{dx}\mathrm{haversin}(x) = \frac{\sin{x}}{2}$	$\int\mathrm{haversin}(x) \,dx = \frac{x - \sin{x}}{2} + C$
$\frac{d}{dx}\mathrm{hacoversin}(x) = \frac{-\cos{x}}{2}$	$\int\mathrm{hacoversin}(x) \,dx = \frac{x + \cos{x}}{2} + C$

參見

• 三角函數

參考文獻

• Boyer, Carl B. A History of Mathematics 2nd. New York: Wiley. 1991. 
• sagitta. 牛津英語詞典 (第三版). 牛津大學出版社. 2001 （英文）. 

• Miller, J. Earliest known uses of some of the words of mathematics (v). 
• Calvert, James B. Trigonometry. 
• haversine. 牛津英語詞典 (第三版). 牛津大學出版社. 2001 （英文）. 

Cites coinage by Prof. Jas. Inman, D. D., in his Navigation and Nautical Astronomy, 3rd ed. (1835).

• Nair, Bhaskaran. Track measurement systems—concepts and techniques. Rail International. 1972, 3 (3): 159–166. ISSN 0020-8442. 
• 埃里克·韦斯坦因, Versine at MathWorld
• 埃里克·韦斯坦因, Haversine at MathWorld

外部連結

• Sagitta, Apothem, and Chord by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project.