正规子群

在抽象代数中，正规子群或不变子群指一类特殊的子群。由正规子群，可以引导出商群的概念。

埃瓦里斯特·伽罗瓦是最早认识到正规子群的重要性的人。

定义

群 G 的子群 N 是正規子群，如果它在共轭变换下不變；就是說對於每個 N 中元素 n 和每個 G 中的元素 g，元素 gng⁻¹ 仍在 N 中。我們寫為

$N \triangleleft G\,\,\Leftrightarrow\,\forall\,n\in{N},\forall\,g\in{G}\ , gng^{-1}\in{N}$

下列條件等價於子群 N 在 G 中是正規子群。其中任何一個都可以用作定義:

1. 對於 G 中的所有 g，gNg⁻¹ ⊆ N。
2. 對於 G 中的所有 g，gNg⁻¹ = N。
3. N 在 G 中的左陪集的集合和右陪集的集合是一致的。
4. 對於 G 中的所有 g，gN = Ng。
5. N 是 G 的若干共軛類的并集。
6. 有在其中 N 為核的某個 G 上的群同態。

注意條件(1)邏輯上弱於條件(2)，條件(3)邏輯上弱於條件(4)。為此，條件(1)和條件(3)經常用來證明 N 在 G 中是正規子群，而條件(2)和(4)用來證明 N 在 G 中是正規子群的推論。

陪集和正規子群

给定一个群G，以及G的一个子群H，G的一个元素a，集合：

$aH = \left\{ ax | x \in H \right\}$称作H关于a的左陪集。a叫做aH的代表元。

类似地，可以定义H关于a的右陪集：

$Ha = \left\{ xa | x \in H \right\}$。

可以证明：对于G中的两个元素a、b，$(a^{-1}b \in H) \Longleftrightarrow (aH \cap bH \ne \varnothing) \Longleftrightarrow (aH = bH)$。因此aH和bH只有两种关系：相等，或交集为空，即$aH = bH$ 或者$aH \cap bH = \varnothing$。

于是群G可以被分解成：

$G = \bigcup_{a \in G} aH$

这个分解称作群G的左陪集分解。类似地有群G的右陪集分解：

$G = \bigcup_{a \in G} Ha$

进一步地，可以证明由$a \sim b \Longleftrightarrow a^{-1}b \in H$所定义的关系是一个等价关系，集合中的每个等价关系都可确定一个等价类，因此每个$aH$是一个等价类。每个$aH$中含有的元素个数是相等的。

此外，群G的左陪集分解与群G的右陪集分解间存在同构：

$\tau : aH \mapsto Ha^{-1}$

因此H的左陪集个数和右陪集个数是相等的，叫做H对G的指数。

对于一般的H，集合$\left\{ aH | a \in G \right\}$关于子集的积并不是一个群。对于G中的元素a、b，子集的积$aH \times bH = abH$，但对于$a^\prime \in aH, b^\prime \in bH$，不一定有$a^\prime H \times b^\prime H = abH$。群G的正规子群或不变子群H使得$\left\{ aH | a \in G \right\}$关于子集的积是這個群的子群。这时H的左陪集和右陪集是一样的，统称陪集。陪集组成的群叫做G关于H的商群，记作$\frac{G}{H}$。商群的目数等于H对G的指数。

例子

• {e}和G自身总是G的正规子群。如果G只有这两个正规子群，就叫做简单群。

• 群G的中心是G的正规子群。
• 群G的交换子群是G的正规子群。
• 一个阿贝尔群(或交换群)的所有子群都是它的正规子群，因为显然有gH = Hg。不是阿贝尔群，但全部子群都是正规子群的群叫做哈密尔顿群(Hamiltonian group)，阶数最小的例子是四元数单位 $\pm 1, \pm i \pm j, \pm k$ 对乘法构成的群 $Q_8$。
• 任何有限维欧几里得空间中，平移群都是欧几里得群的正规子群。比如说在3维空间中，先旋转，平移，再作原来旋转的逆，结果是原来的平移。先做镜面对称，平移，再作原来镜面对称的逆，还是原来的平移。将平移按长度分类，就得到一个等价类。平移群是各种长度的平移的并集。

性质

• 满同态保持正规子群的性质，逆映射也是一样。

• 直积保持正规子群的性质。
• G的正规子群的正规子群不一定是G的正规子群，即是说正规子群没有传递性。但是，G的正规子群的特征子群总是G的正规子群。
• G的所有2阶的子群都是正规子群。G中每个阶为n的子群都包含一个G的正规子群K，它对G的阶整除n! 。特别地，当p是|G|的最小质因数时，G的所有p阶的子群都是正规子群。

参见

• 群
• 子群
• 正规闭包
• 中心化子和正规化子
• 特征子群
• 等价类
• 可解群
• 同构基本定理
• 理想