正规子群

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群论
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在抽象代数中,正规子群不变子群指一类特殊的子群。由正规子群,可以引导出商群的概念。

埃瓦里斯特·伽罗瓦是最早认识到正规子群的重要性的人。

定义[编辑]

G子群 N正規子群,如果它在共轭变换下不變;就是說對於每個 N 中元素 n 和每個 G 中的元素 g,元素 gng−1 仍在 N 中。我們寫為

N \triangleleft G\,\,\Leftrightarrow\,\forall\,n\in{N},\forall\,g\in{G}\ , gng^{-1}\in{N}

下列條件等價於子群 NG 中是正規子群。其中任何一個都可以用作定義:

  1. 對於 G 中的所有 ggNg−1N
  2. 對於 G 中的所有 ggNg−1 = N
  3. NG 中的左陪集的集合和右陪集的集合是一致的。
  4. 對於 G 中的所有 ggN = Ng
  5. NG 的若干共軛類并集
  6. 有在其中 N的某個 G 上的群同態

注意條件(1)邏輯上弱於條件(2),條件(3)邏輯上弱於條件(4)。為此,條件(1)和條件(3)經常用來證明 NG 中是正規子群,而條件(2)和(4)用來證明 NG 中是正規子群的推論。

陪集和正規子群[编辑]

给定一个群G,以及G的一个子群H,G的一个元素a,集合:

aH = \left\{ ax | x \in H \right\}称作H关于a的左陪集。a叫做aH的代表元。

类似地,可以定义H关于a的右陪集:

Ha = \left\{ xa | x \in H \right\}

可以证明:对于G中的两个元素a、b,(a^{-1}b \in H) \Longleftrightarrow (aH \cap bH \ne \varnothing) \Longleftrightarrow (aH = bH)。因此aH和bH只有两种关系:相等,或交集为空,即aH = bH 或者aH \cap bH = \varnothing

于是群G可以被分解成:

G = \bigcup_{a \in G} aH

这个分解称作群G的左陪集分解。类似地有群G的右陪集分解:

G = \bigcup_{a \in G} Ha

进一步地,可以证明由a \sim b \Longleftrightarrow  a^{-1}b \in H所定义的关系是一个等价关系,集合中的每个等价关系都可确定一个等价类,因此每个aH是一个等价类。每个aH中含有的元素个数是相等的。

此外,群G的左陪集分解与群G的右陪集分解间存在同构

\tau : aH \mapsto Ha^{-1}

因此H的左陪集个数和右陪集个数是相等的,叫做H对G的指数

对于一般的H,集合\left\{ aH | a \in G \right\} 关于子集的积并不是一个群。对于G中的元素a、b,子集的积aH \times bH = abH,但对于a^\prime \in aH, b^\prime \in bH,不一定有a^\prime H \times b^\prime H = abH。群G的正规子群或不变子群H使得\left\{ aH | a \in G \right\} 关于子集的积是這個群的子群。这时H的左陪集和右陪集是一样的,统称陪集。陪集组成的群叫做G关于H的商群,记作\frac{G}{H}。商群的目数等于H对G的指数。

例子[编辑]

  • {e}和G自身总是G的正规子群。如果G只有这两个正规子群,就叫做简单群
  • 群G的中心G的正规子群。
  • 群G的交换子群G的正规子群。
  • 一个阿贝尔群(或交换群)的所有子群都是它的正规子群,因为显然有gH = Hg。不是阿贝尔群,但全部子群都是正规子群的群叫做哈密尔顿群(Hamiltonian group),阶数最小的例子是四元数单位 \pm 1, \pm i \pm j, \pm k 对乘法构成的群 Q_8
  • 任何有限维欧几里得空间中,平移群都是欧几里得群的正规子群。比如说在3维空间中,先旋转,平移,再作原来旋转的逆,结果是原来的平移。先做镜面对称,平移,再作原来镜面对称的逆,还是原来的平移。将平移按长度分类,就得到一个等价类。平移群是各种长度的平移的并集。

性质[编辑]

  • 满同态保持正规子群的性质,逆映射也是一样。
  • 直积保持正规子群的性质。
  • G的正规子群的正规子群不一定是G的正规子群,即是说正规子群没有传递性。但是,G的正规子群的特征子群总是G的正规子群。
  • G的所有2阶的子群都是正规子群。G中每个阶为n的子群都包含一个G的正规子群K,它对G的阶整除n! 。特别地,当p是|G|的最小质因数时,G的所有p阶的子群都是正规子群。

参见[编辑]