正规态射

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範疇論中,正规態射是一類可以自然地分解成單射滿射態射。使所有態射皆為正规態射的範疇稱為正规範疇

定義[编辑]

\mathcal{C}為一個有有限射影極限與歸納極限範疇。設f: X \to Y為態射。設p_1, p_2: \; X \times_Y X \to X的投影,而i_1,i_2: \; Y \to Y \sqcup_X Y上積的內射。定義:

  • 上像\mathrm{Coim}(f) := \mathrm{Coker}(p_1,p_2)
  •  \mathrm{Im}(f) := \mathrm{Ker}(i_1, i_2)

根據極限性質,自然態射X \to \mathrm{Coim}(f)滿射,而\mathrm{Im}(f) \to Y則是單射。此外還存在唯一一個態射u: \;\mathrm{Coim}(f) \to \mathrm{Im}(f),使得合成態射

X \longrightarrow\mathrm{Coim}(f) \stackrel{u}{\longrightarrow} \mathrm{Im}(f) \longrightarrow Y

正好是f

u同構,則稱f正规態射;正规態射可以寫成滿射與單射的合成。所有態射皆為正规態射的範疇稱為正规範疇

性質[编辑]

  • 以下三個條件等價:
    • f為嚴格滿射
    • \mathrm{Coim}(f) \to Y為同構
    • 序列X \times_Y X \Rightarrow X \rightarrow Y正合
  • 如果f同時是嚴格滿射與嚴格單射,則f為同構。
  • X \to \mathrm{Coim}(f)恆為嚴格滿射。

例子[编辑]

正规態射的重要特性在於它分解為滿射與單射,此分解在阿貝爾範疇中扮演關鍵角色。

對於集合範疇範疇以及一個上的範疇,嚴格性並不成問題。一旦引入額外結構,狀況將大大地複雜化:例如取\mathcal{C}拓撲向量空間範疇,\mathcal{C}中存在所有有限的積與上積。\mathcal{C}中的態射f: X \to Y即連續線性映射,其像\mathrm{Im}(f)是空間f(X)配與Y的子空間拓撲,上像\mathrm{Coim}(f)則是f(X)配與f: X \to f(X)商拓撲;後者一般較前者為細。

文獻[编辑]

  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部連結[编辑]