正规扩张

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正规扩张抽象代数中的概念,属于域扩张中的一类。一个扩张L/K正规扩张当且仅当扩域L多项式环K[X]中的某个多项式分裂域布尔巴基学派将这类扩张称为“准伽罗瓦扩张”。正规扩张是代数扩张的一种。

定义[编辑]

正规扩张的定义不止一种,以下三个准则都可以刻画正规扩张,是三个等价的定义。域扩张L/K是正规扩张当且仅当它满足以下三个等价条件中任意一个:

  1. L多项式环K[X]中的某一族多项式分裂域
  2. Kalg是一个包含了LK代数闭包。对于LKalg上的每一个嵌入σ,只要它限制在K上的部分是平凡的(即为恒等映射:σ(x) = x), 那么就有σ(L) = L。换句话说,LKalg上的每一个K-嵌入σ都是一个L上的K-自同构
  3. 任意一个K[X]上的不可约多项式,只要它在L中有一个根,那么就可以在L[X]分解成一次因式的乘积(或者说全部的根都在L中)。

例子[编辑]

\mathbb{Q}(\sqrt{2})\mathbb{Q}的一个正规扩张,因为它是\mathbb{Q}上的多项式x^2 - 2的分裂域。然而,\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})并不是\mathbb{Q}的一个正规扩张,因为\mathbb{Q}上的不可约多项式x^3 - 2有一个根:\sqrt[3]{2}\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})里面,但它的另外两个根:\sqrt[3]{2} \left(\frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \right)\sqrt[3]{2} \left( \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \right)都是複數,不在\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})里面。只有在加入了三次单位根:\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} 后的扩域\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)才是一个正规扩张。

也可以用正规扩张的第二个定义来证明\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) 不是\mathbb{Q} 的正规扩张。设域\mathbb{A} 是由所有复代数数生成的扩域,则\mathbb{A}\mathbb{Q} 的一个代数闭包,并且\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\mathbb{A} 里面。另一方面,

\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}\in\mathbb{A}\,|\,a,b,c\in\mathbb{Q}\}

并且,如果记\zeta =\sqrt[3]{2} \left( \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \right)x^3 - 2的复根之一,那么映射

\begin{array}{lccc}\sigma: & \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) &\longrightarrow &\mathbb{A}\\ & a+ b\sqrt[3]{2}+c \sqrt[3]{4}  & \mapsto & a + b\zeta + c\zeta^2 \end{array}

\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\mathbb{A} 上的一个嵌入,并且它限制在\mathbb{Q} 上的部分是平凡的(将\mathbb{Q} 中元素映射到自己)。但是σ并不是\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) 上的自同构。

更一般地,对每一个素数p,域扩张\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}, \zeta_p) 都是\mathbb{Q}的一个正规扩张,扩张的次数是p(p - 1)。 \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}, \zeta_p)\mathbb{Q}上的多项式x^p - 2的分裂域。其中的\zeta_p 是任意一个复数p单位根

性质[编辑]

设有域扩张L/K,那么:

  • 如果LK的正规扩张,并且F是一个子扩张(也就是说有扩张KFL)那么L也是F的正规扩张。
  • 如果L的子域EF都是K的正规扩张,那么两者的复合扩张EF(指L的子域中同时包含EF的最小者)以及两者的交EF也都是K的正规扩张。

正规闭包[编辑]

设有域扩张L/K,那么总存在域扩张M/L,使得M/K是正规扩张。在同构意义上,“最小”的这样的扩张是唯一。即是说,其他的域扩张N/L如果使得N/K是正规扩张,那么总存在N/L的子扩张M'/L,使得M'同构于M。这个唯一的“最小”正规扩张M/L称为域扩张L/K正规闭包

如果L/K有限扩张,那么它的正规闭包M/L也是有限扩张(因此M/K也是有限扩张)。

参见[编辑]

参考来源[编辑]