正规数

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数学上,粗略来说,正规数Normal Number)指,数字显示出随机分布,且每个数字出现机会均等的实数。「数字」指的是小数点前有限个数字(整数部份),以及小数点后无穷数字序列(分数部份)。

b是大于1的整数x实数。考虑以b为底的位值记数法x的数字序列。若s是以b为底的有限数字序列,我们以N(s,n)表示字串sx的开首n个数字出现次数。数x称为b为底正规若对任意长度k的字串s

\lim_{n\to\infty} \frac{N(s,n)}{n} = \frac{1}{b^{k}}

(即是说在x的数字中找到字串s概率,就像在完全随机生成的数字序列中的一样。)x称为正规数(有时称为绝对正规数) 如果以任何b为底x都是正规。

这个概念是由埃米尔·博雷尔在1909年创造。用波萊尔—坎特利引理,他证明了正规数定理:几乎所有实数是正规的,意思是非正规数集合的勒贝格测度为0。这定理证明存在正规数,但首先给出一个例子的是瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基(Wacław Sierpiński)。

非正规数集合是不可数的,这个结果容易得出,想法是从每个实数中完全除去一个数字。

钱珀瑙恩数(Champernowne)

0.1234567891011121314151617...

是从连结所有自然数的数字而得出的数,它以10为底正规,但可能在某些底不是正规。

科普兰—艾狄胥常数(Copeland-Erdős)

0.235711131719232931374143...

从连结所有质数的数字而得出的数,也是以10为底正规。

有理数在任何底都不是正规,因为它们的数字序列最终会循环出现。瓦茨瓦夫·谢尔品斯基在1917年给出第一个明确构造的一个正规数。韋羅妮卡·比彻(Verónica Becher)和桑蒂亞戈·菲盖拉(Santiago Figueira)构造一个可计算正规数;蔡廷常数(Chaitin) \Omega给出一个不可计算的正规数例子。

要证明一个不是明确构造为正规数的数的正规性非常困难。例如2的平方根\sqrt 2圆周率\pi(2000年時數學家证明了π的2進數-正规性可以由一个有关混沌理论的合理但尚未证明的猜想导出[1] [2])、2的自然对数ln 2e是否正规仍不知道。(但基于实验证据,猜想它们很可能是正规数。)证明仍遥不可及:就连哪些数字在这些常数的10进表示法无穷次出现仍不知道。大卫·贝利(David H. Bailey)和理查德·克兰德尔(Richard E. Crandall)在2001年猜想每个无理代数数是正规的,雖没有找到反例,卻還没有一个这样的数被证明在每个底都是正规的。

参考[编辑]

  1. ^ Weisstein, Eric W. Normal Number. MathWorld. 2005-12-22 [2007-11-10]. 
  2. ^ Preuss, Paul. Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key. Lawrence Berkeley National Laboratory. 2001-07-23 [2007-11-10]. 
  • Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "On the Random Character of Fundamental Constant Expansions." Experimental Mathematics 10, 175-190, 2001. online version
  • Becher, V. and Figueira, S. "An example of a computable absolutely normal number", Theoretical Computer Science, 270, pp. 947-958, 2002.
  • Borel, E. "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques." Rend. Circ. Mat. Palermo 27, 247-271, 1909.
  • Champernowne, D. G. "The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten." Journal of the London Mathematical Society 8, 254-260, 1933.
  • Sierpiński, W. "Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres absolutment normaux et détermination effective d'un tel nombre." Bull. Soc. Math. France 45, 125-144, 1917.