正规族

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数学中,特别是应用于复分析,一个正规族normal family)是连续函数的一个预紧族。非正式地讲,这意味着这一族中的函数不能扩展得太广;它们以一种相对“紧致”地方式集中在一起。理解函数空间中的紧子集是有广泛意义的,因为它们通常自然是无穷维的。

更正式地,定义在某个完备度量空间 X 上取值于另一个完备度量空间 Y 的连续函数 f 的一个集合(有时称为F 称为正规的,如果 F 中每个函数序列包含一个子序列紧收敛到一个从 XY 的连续函数。

复分析[编辑]

这个定义经常在复分析中用于全纯函数空间。此时变为全纯函数的一个序列,紧收敛到一个全纯函数。所以可以将 X 换成复平面上一个区域,Y 为复平面自己,将连续换成全纯,得到的定义是用于复分析中的版本。

这里另一个常用的空间是亚纯函数空间。这与全纯类似,但收敛不是使用标准的度量而是使用球面度量。这就是如果 d 是球面度量,则要使

f_n(z) \to f(z)

紧收敛,意味着

d\left(f_n(z),f(z)\right)\,

在任意紧子集上一致收敛到 0。

名称[编辑]

保罗·蒙泰尔于1912年发明了术语“正规族”[1]

注意到这是一个经典定义,尽管很常用,但与现代的名称不一致。在现代语言中,我们在连续(全纯)函数空间上可给定一个度量,在紧子集上相应的收敛,则可以说在这样一个度量空间中的“函数预紧集合”而不是说“连续(全纯)函数的正规族”。这增加了一般性,但使用起来变麻烦了,因为需要定义上面提到的度量。

相关条目[编辑]

脚注[编辑]

  1. ^ Reinhold Remmert, Leslie Kay. Classical Topics in Complex Function Theory. Springer. 1998: 154 [2009-03-01]. 

参考文献[编辑]

  • John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag. 1978. ISBN 0-387-90328-3. 
  • J. L. Schiff. Normal Families. Springer-Verlag. 1993. ISBN 0-387-97967-0. 

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