正规空间

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拓扑学和相关的数学分支中,正规空间Normal space)、T4 空间T5 空间T6 空间是特别优秀的一类拓扑空间。这些条件是分离公理的个例。

定义[编辑]

表示为两侧封闭圆圈的闭集 E 和 F,被表示为更大开放圆圈的它们各自的领域 U 和 V 所分离,它们是不相交的。

假定 X 是拓扑空间。X正规空间当且仅当给定任何不相交闭集 EF, 存在 E邻域 UF 的邻域 V 也是不相交的。用較花巧的术语说,这个条件声称 EF由邻域分离的。


XT4 空间,如果它是正规空间和豪斯多夫空间

X完全正规空间继承正规空间,如果所有 X子空间是正规的。显然 X 是完全正规的,当且仅当任何两个分离集合可以由邻域分离。

XT5 空间,或完全 T4 空间,如果它是完全正规的和豪斯多夫的,或等价的说,如果所有 X 的子空间是 T4 的。

X完美正规空间,如果任何两个不相交闭集可以由函数完全分离的。就是说,给定不相交闭集 EF,有从 X实直线 R连续函数 f 使得 {0} 和 {1} 在 f 下的前像分别是 EF。在这个定义于可以使用单位区间 [0,1],结果是相同的。明显的 X 是完美正规的,当且仅当 X 是正规的并且所有闭集是 Gδ 集合。等价的说,X 是完美正规的,当且仅当所有闭集是零集合。所有完美(perfectly)正规空间自动的是完全(completely)正规的。

XT6 空间完美 T4 空间,如它是完美正规和豪斯多夫二者。

注意某些数学文献对术语“正规”和“T4”与包含这些词的术语使用了不同的定义。这里给出的定义是今天最常用的。但是某些作者切换了这两个术语的意义,或把它们用做同一个条件的两个同义词,在阅读数学文献的时候要注意看出作者使用的是何种定义。(但是“T5”总是有和“完全 T4”相同的意义)。更多详情参见分离公理的历史

你还会见到术语如正规正则空间正规豪斯多夫空间,它们简单的意味着这个空间是正规的并满足提及的其他条件。特别的,正规豪斯多夫空间同于 T4 空间。这些术语是有用的,因为它们更少历史性歧义。在这里我们使用这些术语,用“正规豪斯多夫”替代“T4”,用“完全正规豪斯多夫”替代“T5”。

全部(fully)正规空间和全部 T4 空间在仿紧致空间中讨论。

局部正规空间是其中所有有开邻域的点是正规的拓扑空间。所有正规空间都是局部正规的,但是反过来不是真的。不是正规的完全正则局部正规空间的经典的例子是Niemitzki平面

正规空间的例子[编辑]

数学分析中遇到的多数空间都是正规豪斯多夫空间,或至少是正规正则空间:

还有所有全部正规空间是正规的(即使不是正则的)。Sierpinski空间是非正则的正规空间的例子。

非正规空间的例子[编辑]

非正规拓扑的重要例子是在代数簇交换环谱上的 Zariski拓扑,它用于代数几何

与分析有些关系的非正规空间是所有从实直线 R 到自身的函数拓扑向量空间,带有逐点收敛拓扑。 更一般的说,A. H. Stone的一个定理声称不可数多紧致豪斯多夫空间的乘积永远不是正规的。

性质[编辑]

正规空间的主要重要性在于它们都足够容纳连续实数值函数,如下列对任何正规空间 X 都有限的定理所表达的。

乌雷松引理: 如果 ABX 的两个不相交闭集,则存在从 X 到实直线 R 的连续函数 f 使得 f(x) = 0 对于所有 A 中的 xf(x) = 1 对于所有 B 中的 x。 事实上,我们可以完全在单位区间 [0,1] 内取 f 的值。(用較花巧的术语来说,不相交闭集不只是由领域分离的,还是由函数分离的。)

更一般的,蒂茨扩张定理: 如果 AX 的闭子集而 f 是从 AR 的连续函数,则存在连续函数 F: XR,它在对于所有 A 中的 xF(x) = f(x) 的意义上扩张了 f

如果 U 是正规空间 X 的局部有限开覆盖,则有完全从属于 U 的一个单位划分

事实上,任何满足这些条件之一的空间都必定是正规的。

正规空间的乘积不必需是正规的。这个事实在被 Robert Sorgenfrey 首次证明时是很令人惊讶的。这种现象的一个例子是 Sorgenfrey平面。还有,正规空间的子集不必需是正规的(例如,不是所有正规豪斯多夫空间都是完成正规豪斯多夫空间),因为所有吉洪诺夫空间都是它的 Stone-Cech 紧致化(它是正规豪斯多夫)的子集。更明确的例子是吉洪诺夫支架

与其他分离公理的联系[编辑]

如果正规空间是 R0,则它事实上是完全正则空间。因此从“正规 R0”到“正规完全正则”的任何东西都同于我们叫做“正规正则”的东西。选取柯尔莫果洛夫商,我们看到所有正规 T1 空间都是吉洪诺夫空间。它们一般被叫做“正规豪斯多夫”空间。

这些变体的反例可以在前面章节中找到。特别是,Sierpinski空间是正规但非正则的,而从 R 到自身的函数空间是吉洪诺夫的但不是正规的。

引用[编辑]

  • Kemoto, Nobuyuki. Higher Separation Axioms. In K.P. Hart, J. Nagata, and J.E. Vaughan. Encyclopedia of General Topology. Amsterdam: Elsevier Science. 2004. ISBN 0-444-50355-2. 
  • Willard, Stephen. General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 1970. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).