正轴形

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几何学中,正轴形,或称交叉形[1]正交形[2]超正八面体余方形,是一个的、凸的、存在于任意维度的多胞形。正轴形的顶点坐标都是(±1, 0, 0, …, 0)的全排列,正轴形是这些顶点的凸包。它的(n-1)维表面是(n-1)维的正单纯形,而正轴形的顶点图英语Vertex Figure是前一维的另一正轴形。

n维正轴形也可以用在Rn1-赋范下的单位球(或者,对于某些学者,单位球面)来定义;

\{x \in \mathbb R^n : \|x\|_1 \le 1\}.

在一维,正轴形就是线段 [−1, +1],在二维它是正方形(或叫做正菱形),有顶点{(±1, 0), (0, ±1)。在三维它是正八面体—五个正多面体,即柏拉图立体之一。更高维的正轴形总结如下:

A 2-dimensional cross-polytope A 3-dimensional cross-polytope A 4-dimensional cross-polytope
二维
正方形
三维
正八面体
四维
正十六胞体

正轴形是超方形对偶多胞形n维正轴形的一阶骨架英语Skeleton (topology)Turán图英语Turán graphT(2n,n)。

四维[编辑]

四维正轴形也被叫做正十六胞体。它是6个四维凸正多胞体之一。这些多胞体最先被瑞士数学家路德维希·施莱夫利在19世纪中期描述过。

更高维[编辑]

正轴形家族是三个延伸至正无穷维的正多胞形家族之一,考克斯特将其标记为βn,另外两个是超方形家族,记为γn,以及单纯形家族,记为αn第四个非凸多胞形的家族,超方形密铺家族,他将其标记为δn

n维正轴形有2n个顶点,及2n个全都是(n−1)-单纯体的维面(n−1 维组成元素)。它的顶点图英语vertex figure 都是n − 1维的正轴形。正轴形的施莱夫利符号是{3,3,…,3,4}。n-维正轴形的二面角

\arccos\left(\frac{2-n}{n}\right).

n-维正轴形的k-维组成元素(顶点、棱、面、…、维面)的个数由以下公式给出(见二项式系数):

2^{k+1}{n \choose {k+1}}

n-维正轴形的超体积为:

\frac{2^n}{n!}.

这里有许多能够以二维图像展示正轴形的正交投影皮特里多边形英语Petrie polygon投影是常用的一种投影,将其顶点,投影到一个2n边形或更低阶的正多边形上。第二次的投影再投影于更低维中的2(n-1)边皮特里多边形,例如双角锥,我们可将其沿主轴投影,两个顶点被投影到了投影的中心。

正轴形元素
n βn
k11
名称
图像
图像
2n边形
图像
2(n-1)边形
施莱夫利
符号
考克斯特-英语Coxeter-Dynkin digram
迪肯符号英语Coxeter-Dynkin digram
顶点 4-表面 5-表面 6-表面 7-表面 8-表面 9-表面
1 β1 线段
1-正轴体
Cross graph 1.svg {} CDel node 1.png
CDel node f1.png
2                  
2 β2
−111
正方形
2-正轴体
二维正轴体
Cross graph 2.png 2-orthoplex B1.svg {4}
{}+{}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
4 4                
3 β3
011
正八面体
3-正轴体
三维正轴体
3-orthoplex.svg 3-orthoplex B2.svg {3,4}
{30,1,1}
{}+{}+{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
6 12 8              
4 β4
111
正十六胞体
4-正轴体
四维正轴体
4-orthoplex.svg 4-orthoplex B3.svg {3,3,4}
{31,1,1}
4{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
8 24 32 16            
5 β5
211
5-正轴体
五维正轴体
5-orthoplex.svg 5-orthoplex B4.svg {33,4}
{32,1,1}
5{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
10 40 80 80 32          
6 β6
311
6-正轴体
六维正轴体
6-orthoplex.svg 6-orthoplex B5.svg {34,4}
{33,1,1}
6{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
12 60 160 240 192 64        
7 β7
411
7-正轴体
七维正轴体
7-orthoplex.svg 7-orthoplex B6.svg {35,4}
{34,1,1}
7{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
14 84 280 560 672 448 128      
8 β8
511
8-正轴体
八维正轴体
8-orthoplex.svg 8-orthoplex B7.svg {36,4}
{35,1,1}
8{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
16 112 448 1120 1792 1792 1024 256    
9 β9
611
9-正轴体
九维正轴体
9-orthoplex.svg 9-orthoplex B8.svg {37,4}
{36,1,1}
9{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512  
10 β10
711
10-正轴体
十维正轴体
10-orthoplex.svg 10-orthoplex B9.svg {38,4}
{37,1,1}
10{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024
...
n βn
k11
n-正轴体
n维正轴体
{3n − 2,4}
{3n − 3,1,1}
n{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.png...CDel 2.pngCDel node f1.png
2n 0-表面, ... 2^{k+1}{n\choose k+1} k-表面 ..., 2n (n-1)-表面

等轴正轴形的顶点在曼哈顿距离下,任意两点之间的距离都是相等的(L1赋规)。库斯纳猜想英语Kusner's conjecture即是说这个由2d 个点组成的集合是在这距离下最大的等距集。[3]

另见[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ Elte, E. L., 超空间中的半正多胞形, 格罗宁根: 格罗宁根大学, 1912年  第IV章,五维半正多胞形 [1]
  2. ^ Conway把它叫做n-orthoplex寓意正交的复杂图形
  3. ^ Guy, Richard K., 开放式问题的综合,怪异的构成, 美国数学月刊, 1983年, 90 (3): 196–200, JSTOR 2975549 .

参考[编辑]

外部链接[编辑]