比例

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y 正比於 x。

数学中,若两个的变化关系符合其中一个量是另一个量乘以一个常数,或等价地表达为两者具有一个为常数的比率,则称两者是成比例的。若x:y=u:o,那么yu=xo.

定义[编辑]

更正式地,若存在一非零常数 k 使

y = k \ \times \  x,

则称变量 y 与变量 x 成比例(有时也称为成正比)。当x和y成正比关系,表示当x变为原來k倍时,y也会变为原來的k倍。

y是因变量
x是自变量
k则是变分常数,而k不等于0。如k=0,则不能成立正比关系。也就是说,x、y两个变量线性函数关系。

该关系通常用 ∝ (统一码: U+221D) 表示为:

y \propto x

并称该常数比率

k = y/x

比例常数或比例关系中的比例恒量

在日常生活中,正比这个词的使用并不严格局限于线性函数,一般来说,一个变量随着另一个变量的增大(缩小)而相应地增大(缩小),近似地满足线性关系的时候,我们可以说这两个变量成正比。

例子[编辑]

  • 假设某人以匀运动,则其运动的距离是和运动的时间成正比的,该速度值即是所述的比例常数。
  • 在按比例尺绘制的地图上,地图上任意两点间的距离是和该两点所代表的实际地点之间的距离成比例的,其比例常数即是绘制该地图所使用的比例尺系数。

性质[编辑]

因为

y = k\ \times\ x

等价于

x = (1/k)\ \times\ y,

因此可推出,若 yx 具有比例常数为 k 的比例关系,则 x 也与 y 具有比例常数为 1/k 的比例关系。

yx 成比例,则 y 作为 x 的一个函数的函数图像会是一条穿过原点直线,该直线的斜率等于其比例常数。

比例关系中,位于两端的两数之积等于位于中间的两数之积[编辑]

{a \over b} = {c \over d} \quad\quad ad = bc

比例的其他性质[编辑]

{a \over b} = {c \over d} \quad\quad {b \over a} = {d \over c}

{a \over b} = {c \over d} \quad\quad {a \over c} = {b \over d}

{a \over b} = {c \over d} \quad\quad {a+b \over b} = {c+d \over d}

{a \over b} = {c \over d} \quad\quad {a-b \over b} = {c-d \over d}

若有{a \over b} = {x \over y},且有{c \over d} = {x \over y},则有{a+c \over b+d} = {x \over y}

反比关系[编辑]

在上面定义中,我们说有时称两个成比例的变量成正比例,这是为了和反比例关系相对应。

如果两变量中,一个变量和另外一个变量的倒数成正比,或等价地,若这两变量的乘积是一个常数,则称这两个变量是成反比例(或相反地变化)的。从而可继续推出,若存在一非零常数 k 使

y = {k \over x},

则变量 y 和变量 x 成反比。

反比例关系的概念基本上说明的是这样一种关系,即当一个变量的值变大时,另一变量的值相应变小,而两者之积总是保持为一常数(即比例常数)。

举例来说,运动中的车辆走完一段路程所花费的时间是和这辆车运动的速度成反比的;在地上挖个坑所花的时间也(大致地)和雇来挖坑的人数成反比的。

在笛卡尔坐标平面上,两个具有反比例关系的变量的图形是一对双曲线。该图线上的每一点的 X 和 Y 坐标值之积总是等于比例常数 (k)。由于 k 非零,所以图线不会与坐标轴相交

指数比例和对数比例[编辑]

若变量 y 与变量 x指数函数成正比,即:若存在非零常数 k 使

y = k a^x,

则称 yx指数比例

类似地,若变量 y 与变量 x对数函数成正比,即:若存在非零常数 k 使

y = k\;\log_a (x),

则称 yx对数比例

确定比例关系的实验方法[编辑]

用实验方法确定两个物理量是否具有正比关系,可采用这样的办法,即进行多次测量并在笛卡尔坐标系中将这些测量结果用多个点来表示,而绘制出这些点的分布图形;如果所有点完全(或接近)地落在一条穿过原点 (0, 0) 的直线上,则这两个变量(很有可能)具有比例常数等于该直线斜率的正比关系。

参见[编辑]