比值审敛法

比值审敛法是判别级数敛散性的一种方法，又叫做达朗贝尔判别法（D'Alembert's test）。

定理

设$\sum_{n=1}^\infty u_n$为级数，其中每一項皆為非 0 的實數或複數，如果

$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，

• 当ρ<1时级数收敛
• 当ρ>1或$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\infty$时级数发散
• 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。

例子

收敛

考虑级数

$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^n}$

$\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}} {a_n} \right| &= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}} {\frac{n}{e^n}} \right|\\ &= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{n+1}{e^{n+1}} \cdot \frac{e^n}{n} \right|\\ &= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{n+1}{n} \cdot \frac{e^n}{e^n\cdot e} \right|\\ &= \lim_{n\to\infty} \left| \left(1+\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{e} \right|\\ &= 1\cdot\frac{1}{e} = \frac{1}{e} < 1. \end{align}$

因此该级数收敛。

发散

考虑级数

$\sum_{n=1}^\infty\frac{e^n}{n}$

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$	=$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right|$
	=$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{e^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{e^n}\right|$
	=$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n}{n+1}\cdot\frac{e^n\cdot e}{e^n}\right|$
	=$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|(1-\frac{1}{n+1})\cdot e\right|$
	=$1\cdot e$
	=$\!\, e (>1)$

因此该级数发散。

不能确定

级数

$\sum_{n=1}^\infty 1$

发散，但

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{1}\right| = 1.$

而级数

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

收敛，但

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\right| = 1.$

参见

• 根值审敛法
• 比较审敛法