比较审敛法

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无穷级数
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}
无穷级数

比较审敛法是一种判定级数是否收敛的方法。

设两个正项级数\sum_{n=1}^\infty u_n\sum_{n=1}^\infty v_n,且u_n\le v_n(n=1,2,3,...)
如果级数\sum_{n=1}^\infty v_n收敛,则级数\sum_{n=1}^\infty u_n收敛;


如果级数\sum_{n=1}^\infty u_n发散,则级数\sum_{n=1}^\infty v_n发散;
证:设\sigma _n=\sum_{n=1}^\infty v_k,s_n=\sum_{n=1}^\infty u_ku_n\le v_n时,则有\sigma _n \le v_n
当级数\sum_{n=1}^\infty v_n收敛时,数列\sigma _n有界,从而数列s_n有界,所以级数\sum_{n=1}^\infty u_n收敛
当级数\sum_{n=1}^\infty u_n发散时,数列s _n无界,从而数列\sigma _n无界,所以级数\sum_{n=1}^\infty v_n发散

参见[编辑]