泊松分布

泊松分布

概率質量函數
累積分佈函數
參數	$\lambda \ge 0$
支撑集	$k \in \{0,1,2,\ldots\}$
概率質量函數	$\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!$
累積分佈函數	$\frac{\Gamma(k+1, \lambda)}{k!}\!$
期望值	$\lambda\,$
中位數
眾數	$\lfloor\lambda\rfloor$
方差	$\lambda\,$
偏度	$\lambda^{-1/2}\,$
峰度	$\lambda^{-1}\,$
信息熵
動差生成函數	$\exp(\lambda (e^t-1))\,$
特性函数	$\exp(\lambda (e^{it}-1))\,$

Poisson分布（法語：loi de Poisson，英語：Poisson distribution），译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分佈、布瓦松分佈、布阿松分佈、波以松分佈、卜氏分配等，又稱卜瓦松小數法則（Poisson law of small numbers），是一種統計與概率學裡常見到的離散機率分佈，由法國數學家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年時發表。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数等等。

泊松分布的概率質量函数为：

$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

记号

若$\mathit{X}$服从参数为$\mathit{\lambda}$的泊松分布，记为$X \sim \pi(\lambda)$，或记为$X \sim P(\lambda)$.

性质

服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，同为参数λ： E(X)=V(X)=λ

• 矩母函数：

$M_X(t)=E[e^{tX}]=\sum_{x=0}^\infty e^{tX}\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}=e^{-\lambda}\sum_{x=0}^\infty\frac{({e^t}\lambda)^x}{x!}=e^{-\lambda}e^{\lambda e^t}=e^{{\lambda}(e^t-1)}$

泊松分布的来源（泊松小数定律）

在二项分布的伯努利试验中，如果试验次数n很大，二项分布的概率p很小，且乘积λ= n p比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散時間上的对应物。

证明如下。首先，回顾e的定义：

$\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda \over n}\right)^n=e^{-\lambda},$

二项分布的定义：

$P(X=k)={n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}.$

如果令$p = \lambda/n$, $n$趋于无穷时$P$的极限:

$\begin{align} \lim_{n\to\infty} P(X=k)&=\lim_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \\ &=\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}\\ &=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\left[\frac{n!}{n^k\left(n-k\right)!}\right]}_F \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right) \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)} \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \\ &= \lim_{n\to\infty} \underbrace{\left[ \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1-\frac{k-1}{n}\right) \right]}_{\to 1} \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right) \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)} \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \\ &= \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)\exp\left(-\lambda\right) \end{align}$

最大似然估计

给定n个样本值k_i，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数λ的估计。为计算最大似然估计值, 列出对数似然函数：

$\begin{align} L(\lambda) & = \log \prod_{i=1}^n f(k_i \mid \lambda) \\ & = \sum_{i=1}^n \log\!\left(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k_i}}{k_i!}\right) \\ & = -n\lambda + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \log(\lambda) - \sum_{i=1}^n \log(k_i!). \end{align}$

对函数L取相对于λ的导数并令其等于零:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} L(\lambda) = 0 \iff -n + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \frac{1}{\lambda} = 0. \!$

解得λ从而得到一个驻点（stationary point）:

$\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n k_i. \!$

检查函数L的二阶导数，发现对所有的λ 与k_i大于零的情况二阶导数都为负。因此求得的驻点是对数似然函数L的极大值点:

$\frac{\partial^2 L}{\partial \lambda^2} = \sum_{i=1}^n -\lambda^{-2} k_i$

例子

对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10：30到11：47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共观察77分钟*3=231次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100个、81个、34个、9个、6个。使用极大似真估计（MLE），得到$\lambda$的估计为230/231=0.9543。

参见

• 泊松过程
• 概率论